题目内容
如图,已知⊙O的直径AB=8cm,直线DM与⊙O相切于点E,连接BE,过点B作BC⊥DM于点C,BC交⊙O于点F,BC=6cm.求:
(1)线段BE的长;
(2)图中阴影部分的面积.
分析:(1)连接AE,易得∠AEB=90°,∠ECB=90°,那么∠AEB=∠ECB,根据弦切角定理得∠CEB=∠EAB,那么△AEB∽△ECB,由相似三角形的性质得BE2=AB•BC,从而求得BE的值;
(2)连接OE,过点O作OG⊥BE于点G,易得BG=EG,根据特殊角的三角函数值知∠ABE=30°,所以可求得BO=4,OG=2,进而求得△EOB的面积,由于半径OE=OB,根据等边对等角得∠OEB=∠OBE=30°,由三角形的内角和定理得∠BOE=120°,则可求得扇形OBE的面积,再根据S阴影=S扇形OBE-S△EOB求得阴影部分的面积.
(2)连接OE,过点O作OG⊥BE于点G,易得BG=EG,根据特殊角的三角函数值知∠ABE=30°,所以可求得BO=4,OG=2,进而求得△EOB的面积,由于半径OE=OB,根据等边对等角得∠OEB=∠OBE=30°,由三角形的内角和定理得∠BOE=120°,则可求得扇形OBE的面积,再根据S阴影=S扇形OBE-S△EOB求得阴影部分的面积.
解答:解:(1)连接AE.
∵AB是⊙O的直径,
∴∠AEB=90°,
又∵BC⊥DM,
∴∠ECB=90°,
∴∠AEB=∠ECB,
∵直线DM与⊙O相切于点E,
∴∠CEB=∠EAB,
∴△AEB∽△ECB,
∴
=
,
∴BE2=AB•BC,
∴BE=
=
=
=4
(cm);
(2)连接OE,过点O作OG⊥BE于点G.
∴BG=EG,
在Rt△ABE中,cos∠ABE=
=
=
,
∴∠ABE=30°,
在Rt△OBG中,∠ABE=30°,BO=4,
∴OG=2,
∴S△EOB=
×4
×2=4
,
∵OE=OB,
∴∠OEB=∠OBE=30°,
∴∠BOE=120°,
∴S扇形OBE=
=
π,
∴S阴影=S扇形OBE-S△EOB=(
π-4
)cm2.
∵AB是⊙O的直径,
∴∠AEB=90°,
又∵BC⊥DM,
∴∠ECB=90°,
∴∠AEB=∠ECB,
∵直线DM与⊙O相切于点E,
∴∠CEB=∠EAB,
∴△AEB∽△ECB,
∴
AB |
EB |
BE |
BC |
∴BE2=AB•BC,
∴BE=
AB•BC |
8×6 |
48 |
3 |
(2)连接OE,过点O作OG⊥BE于点G.
∴BG=EG,
在Rt△ABE中,cos∠ABE=
BE |
AB |
4
| ||
8 |
| ||
2 |
∴∠ABE=30°,
在Rt△OBG中,∠ABE=30°,BO=4,
∴OG=2,
∴S△EOB=
1 |
2 |
3 |
3 |
∵OE=OB,
∴∠OEB=∠OBE=30°,
∴∠BOE=120°,
∴S扇形OBE=
120π×42 |
360 |
16 |
3 |
∴S阴影=S扇形OBE-S△EOB=(
16 |
3 |
3 |
点评:本题综合考查了直径对的圆周角是直角三角形,弦切角定理,切线的性质,相似三角形的判定和性质,垂径定理,锐角三角函数的概念,特殊角的三角函数值,三角形和扇形的面积公式等知识点.
练习册系列答案
相关题目