题目内容

等腰三角形的顶角是底角的2倍，则底角度数为（　　）
分析：设底角是x，表示出顶角为2x，然后根据三角形的内角和定理列出方程求解即可．
解答：解：设底角是x，则顶角为2x，
根据题意得，x+x+2x=180°，
解得x=45°．
故选C．
点评：本题考查了等腰三角形的性质，主要利用了两底角相等，三角形的内角和定理，列出方程是解题的关键．
练习册系列答案
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黄金分割比是生活中比较多见的一种长度比值，它能给人许多美感和科学性，我们初中阶段学过的许多几何图形也有着类似的边长比例关系．例如我们熟悉的顶角是36°的等腰三角形，其底与腰之比就为黄金分割比
5
-1
2
，底角平分线与腰的交点为黄金分割点．
（1）如图1，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，∠ACB的角平分线CD交腰AB于点D，请你证明点D是腰AB的黄金分割点；
（2）如图2，在△ABC中，AB=AC，若
AB
BC
=
5
-1
2
，则请你求出∠A的度数；
（3）如图3，如果在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB上的高，∠A、∠B、∠ACB的对边分别为a，b，c．若点D是AB的黄金分割点，那么该直角三角形的三边a，b，c之间是什么数量关系？并证明你的结论．
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如图，等腰三角形与正三角形的形状有着差异，我们把它与正三角形的接近程度称为等腰三角形的“正度”，在研究“正度”时，应符合下面四个条件：①“正度”的值是非负数；②“正度”值越小，表示等腰三角形越接近正三角形；③相似的等腰三角形“正度”要相等；④正三角形的“正度”是0．例如：
设等腰三角形的底和腰分别为a，b，底角和顶角分别为α，β．
可用|sinα-
3
2
|表示等腰三角形的“正度”，|sinα-
3
2
|的值越小，α越接近60°，表示等腰三角形越接近正三角形，且当两个等腰三角形相似时，它们的底角相等，显然，它们的“正度”|sinα-
3
2
|也相等，当α=60°时，|sinα-
3
2
|=0．
而如果用
a
b
表示等腰三角形的“正度”，就不符合要求，因为此时正三角形的正度是1！
解答下列问题：
甲同学认为：可用|a-b|表示等腰三角形的“正度”，|a-b|的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形；
乙同学认为：可用|α-β|表示等腰三角形的“正度”，|α-β|的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形．
精英家教网（1）他们的说法合理吗？为什么？
（2）对你认为不合理的方案加以改进，使其合理；
（3）请你再给出一种衡量等腰三角形“正度”的合理的表达式，并说明理由．

先阅读下列材料，然后解决相关问题．

圆锥可以看做是由一个直角三角形绕其中的一条直角边旋转一周得到的图形，如图(2)所示，这条直角边所在直线()称为圆锥的轴．圆锥的轴通过底面圆的圆心，并且垂直于底面．可以看出，经过圆锥的轴的剖面是一个等腰三角形，它的腰长(AB与AC)等于圆锥的母线长，底边长等于圆锥底面的直径．我们把这个等腰三角形的顶角称为圆锥的锥角．

如图所示(1)，一张半圆形纸片，用这张半圆形纸片围成一个圆锥，如图所示(2)，求这个圆锥的锥角．

轴截面是顶角为120°的等腰三角形的圆锥侧面积和底面积的比是多少？

 

如图，射线BN、AM都垂直于线段AB，E为AM上一动点，⊥于F，交BN于C，⊥于，连接BD．

⑴求证： ；

⑵当为的中点时，求证： 

；

⑶设，请探究出使为

等腰三角形的实数的值．

【解析】(1)中利用⊥

得到直角三角形AEF相似于三角形ABE，然后得到结论。

（2）中，

由⑴有，因为为的中点，所以

则可以得到

从而的得到角相等

（3）中，设，当使为

等腰三角形时，需要考查谁是腰，分类讨论得到

①为腰，且为顶角顶点；

②为腰，且为顶角顶点；

③为底．

①为腰，且为顶角顶点；

解得答案为

 

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