题目内容

如图，等腰三角形与正三角形的形状有着差异，我们把它与正三角形的接近程度称为等腰三角形的“正度”，在研究“正度”时，应符合下面四个条件：①“正度”的值是非负数；②“正度”值越小，表示等腰三角形越接近正三角形；③相似的等腰三角形“正度”要相等；④正三角形的“正度”是0．例如：
设等腰三角形的底和腰分别为a，b，底角和顶角分别为α，β．
可用|sinα-

|表示等腰三角形的“正度”，|sinα-

|的值越小，α越接近60°，表示等腰三角形越接近正三角形，且当两个等腰三角形相似时，它们的底角相等，显然，它们的“正度”|sinα-

|也相等，当α=60°时，|sinα-

|=0．
而如果用

表示等腰三角形的“正度”，就不符合要求，因为此时正三角形的正度是1！
解答下列问题：
甲同学认为：可用|a-b|表示等腰三角形的“正度”，|a-b|的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形；
乙同学认为：可用|α-β|表示等腰三角形的“正度”，|α-β|的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形．

（1）他们的说法合理吗？为什么？
（2）对你认为不合理的方案加以改进，使其合理；
（3）请你再给出一种衡量等腰三角形“正度”的合理的表达式，并说明理由．

分析：（1）将甲乙两同学的推测进行推理，若代入特殊值不成立，则推理不成立．
（2）对同学甲的方案可改为用

|a-b|

，

|a-b|

等（k为正数）来表示“正度”．
（3）还可用|α-60°|，|β-60°|，|α+β-120°|，

[(α-60°)2+2(β-60°)2]等来表示“正度”．

解答：解：（1）同学乙的方案较为合理．
因为|α-β|的值越小，α与β越接近60°，
因而该等腰三角形越接近于正三角形，且能保证相似三角形的“正度”相等．
同学甲的方案不合理，不能保证相似三角形的“正度”相等．
如：边长为4，4，2和边长为8，8，4的两个等腰三角形相似，但|2-4|=2≠|4-8|=4．
（2）对同学甲的方案可改为用

|a-b|

，

|a-b|

等（k为正数）来表示“正度”．
（3）还可用|α-60°|，|β-60°|，|α+β-120°|，

[(α-60°)2+2(β-60°)2]等来表示“正度”．

点评：本题考查了相似三角形的应用、等腰三角形的性质及解直角三角形的知识，此题是一道开放性问题，体现了探索发现的过程：发现问题，作出假设，进行验证，加以证明．