Question

若a，b，c为实数，且a+b+c=0，abc=2，那么|a|+|b|+|c|的最小值可达到

 

．

Answer 1

分析：先根据已知条件确定a、b、c的符号，利用完全平方式求出（|a|+|b|+|c|）²=4a²，再构造出以b、c为根的一元二次方程，由根的判别式即可求出a的取值范围，再由（|a|+|b|+|c|）²=4a²即可求出答案．

解答：解：由题意得a=-（b+c），
∵abc=2＞0，
∴假设a＞0，则b＜0，c＜0，
∴（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc，
=a²+b²+c²-2ab-2ac+2bc+4ab+4ac，
=|a|²+|b|²+|c|²+2|a||b|+2|a||c|+2|b||c|+4ab+4ac，
=（|a|+|b|+|c|）²+4ab+4ac，
∴（|a|+|b|+|c|）²=0-4ab-4ab=-4a（b+c）=4a²，
∵b+c=-a，bc=

2

a

，所以可以将b、c看成是x²+ax+

2

a

=0这个方程的两个根，
∵△≥0，
∴a²-

8

a

≥0，
∴a³-8≥0，即a³≥8，a≥2，
∴（|a|+|b|+|c|）²≥16，
∴|a|+|b|+|c|≥4，
∴|a|+|b|+|c|的最小值为4．
故答案为：4．

点评：本题考查的是绝对值的性质及一元二次方程根与系数的关系、根的判别式，综合性较强，难度较大．