题目内容
12、（1）对关于x的一次函数y=kx+h（k≠0），若x=-1、1时都有y＞0，证明：当-1＜x＜1时都有y＞0．
（2）试用上面结论证明下面的命题：若a、b、c为实数且|a|＜1，|b|＜1，|c|＜1，则ab+bc+ca＞-1．
（2）试用上面结论证明下面的命题：若a、b、c为实数且|a|＜1，|b|＜1，|c|＜1，则ab+bc+ca＞-1．
分析：（1）根据一次函数的图象是直线可知一次函数y=kx+h在-1＜x＜1上的图象为线段（除去两端点），
再根据两端点的纵坐标均为正数即可得证；
（2）先把ab+bc+ca+1化为（b+c）a+bc+1的形式，再把a=-1和1时代入此代数式，根据|a|＜1，|b|＜1，|c|＜1，可判断出ab+bc+ca+1＞0，从而得证．
再根据两端点的纵坐标均为正数即可得证；
（2）先把ab+bc+ca+1化为（b+c）a+bc+1的形式，再把a=-1和1时代入此代数式，根据|a|＜1，|b|＜1，|c|＜1，可判断出ab+bc+ca+1＞0，从而得证．
解答：证明：（1）由于一次函数y=kx+h在-1＜x＜1上的图象为线段（除去两端点），
而在端点x=-1、1时都有y＞0，即两个端点都在x轴上方，（2分）
故整条线段都在x轴上方，即当-1＜x＜1时都有y＞0．（2分）
（2）ab+bc+ca+1=（b+c）a+bc+1，（12分）
当a=-1和1时，其值分别为-b-c+bc+1和b+c+bc+1，
而-b-c+bc+1=（b-1）（c-1），b+c+bc=（b+1）（c+1），
由于|b|＜1，|c|＜1，故（b-1）（c-1）、（b+1）（c+1）都大于0，（4分）
由（1）结论可得对|a|＜1都有ab+bc+ca＞-1．（1分）
而在端点x=-1、1时都有y＞0，即两个端点都在x轴上方，（2分）
故整条线段都在x轴上方，即当-1＜x＜1时都有y＞0．（2分）
（2）ab+bc+ca+1=（b+c）a+bc+1，（12分）
当a=-1和1时，其值分别为-b-c+bc+1和b+c+bc+1，
而-b-c+bc+1=（b-1）（c-1），b+c+bc=（b+1）（c+1），
由于|b|＜1，|c|＜1，故（b-1）（c-1）、（b+1）（c+1）都大于0，（4分）
由（1）结论可得对|a|＜1都有ab+bc+ca＞-1．（1分）
点评：本题考查的是一次函数的性质，解答此题时要熟知一次函数的图象是直线的知识．
练习册系列答案
53随堂测系列答案
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