题目内容

如图①,我们在“格点”直角坐标系上可以清楚看到:要找AB或DE的长度,显然是转化为求Rt△ABC或Rt△DEF的斜边长.

下面:以求DE为例来说明如何解决:
从坐标系中发现:D(-7,5),E(4,-3).所以DF=|5-(-3)|=8,EF=|4-(-7)|=11,所以由勾股定理可得:DE=
82+112
=
185

下面请你参与:
(1)在图①中:AC=
4
4
,BC=
3
3
,AB=
5
5

(2)在图②中:设A(x1,y1),B(x2,y2),试用x1,x2,y1,y2表示AC=
y1-y2
y1-y2
,BC=
x1-x2
x1-x2
,AB=
(x1-x2)2+(y1-y2)2
(x1-x2)2+(y1-y2)2

(3)(2)中得出的结论被称为“平面直角坐标系中两点间距离公式”,请用此公式解决如下题目:
已知:A(2,1),B(4,3),C为坐标轴上的点,且使得△ABC是以AB为底边的等腰三角形.请求出C点的坐标.
分析:(1)结合坐标系即可得出AC、BC的长度,利用勾股定理可得出AB的长度;
(2)结合坐标系及各点坐标即可得出各线段的长度.
(3)设点C的坐标为(x,0)或(y,0),依次求出即可得出答案.
解答:解:(1)AC=4,BC=3,AB=
AC2+BC2
=5;

(2)结合图形可得:AC=y1-y2,BC=x1-x2,AB=
(x1-x2)2+(y1-y2)2


(3)若点C在x轴上,设点C的坐标为(x,0),
则AC=BC,即
(2-x)2+(1-0)2
=
(4-x)2+(3-0)2

解得:x=5,
即点C的坐标为(5,0);
若点C在y轴上,设点C的坐标为(0,y),
则AC=BC,即
(2-0)2+(1-y)2
=
(4-0)2+(3-y)2

解得:y=5,
即点C的坐标为(0,5).
综上可得点C的坐标为(5,0)或(0,5).
故答案为:4,3,5;y1-y2,x1-x2,A
(x1-x2)2+(y1-y2)2
点评:本题考查了勾股定理及两点间的距离公式,看似难度较大,其实不然,注意仔细审题,领悟题意.
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