题目内容

解下列方程:
(1)
x2+x+1
x2+1
+
2x2+x+2
x2+x+1
=
19
6

(2)
1
x2+11x-8
+
1
x2+2x-8
+
1
x2-13x-8
=0

(3)(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=120;
(4)2(x2+
1
x2
)-3(x+
1
x
)=1
(1)原方程可变形为
x2+x+1
x2+1
+1+
x2+1
x2+x+1
=
19
6

x2+x+1
x2+1
+
x2+1
x2+x+1
=
13
6

令y=
x2+x+1
x2+1
,则原方程可变为y+
1
y
=
13
6

解得y1=
3
2
,y2=
2
3

当y1=
3
2
时,
x2+x+1
x2+1
=
3
2
,解得x=1;
当y2=
2
3
时,
x2+x+1
x2+1
=
2
3
,解得x=
-3±
5
2

经检验:x=1或
-3±
5
2
都是原方程的解.
故原方程的解为x1=1,x2=
-3+
5
2
,x3=
3-
5
2


(2)设x2+2x-8=y,则原方程可化为:
1
y+9x
+
1
y
+
1
y-15x
=0,
方程的两边同乘y(y+9x)(y-15x),整理得y2-4xy-45x2=0,
解得y=9x或y=-5x.
当y=9x时,x2+2x-8=9x,x2-7x-8=0,解得x1=8,x2=-1;
当y=-5x时,x2+2x-8=-5x,x2+7x-8=0,解得x3=-8,x4=1.
经检验:x1=8,x2=-1,x3=-8,x4=1都是原方程的解.
故原方程的解为x1=8,x2=-1,x3=-8,x4=1.

(3)[(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)]=120,
(x2+5x+4)(x2+5x+6)=120,
设x2+5x+4=y,则y(y+2)=120,
∴y2+2y-120=0,
解得y=10或y=-12.
当y=10时,x2+5x+4=10,x2+5x-6=0,解得x1=-6,x2=1;
当y=-12时,x2+5x+4=-12,x2+5x+16=0,△=25-64=-39<0,故此方程无实根.
故原方程的解为x1=-6,x2=1.

(4)将原方程变形,得2(x+
1
x
2-4-3(x+
1
x
)=1,
整理,得2(x+
1
x
2-3(x+
1
x
)-5=0.
设x+
1
x
=y,则原方程可化为:2y2-3y-5=0,
解得:y1=
5
2
,y2=-1.
当y1=
5
2
时,x+
1
x
=
5
2
,解得:x1=
1
2
,x2=2;
当y2=-1时,x+
1
x
=-1,即x2+x+1=0,△=1-4=-3<0,故此方程无实根.
经检验:x1=
1
2
,x2=2都是原方程的解.
故原方程的解为x1=
1
2
,x2=2.
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