Question

【题目】完成题目：
（1）如图（1），点P是正方形ABCD的边CD上一点（点P与点C，D不重合），点E在BC的延长线上，且CE=CP，连接BP，DE．求证：BP=DE且BP⊥DE；

（2）直线EP交AD于F，连接BF，FC．点G是FC与BP的交点．

①若BC=2CE时，求证：BP⊥CF；
②若BC=nCE（n是大于1的实数）时，记△BPF的面积为S1 ， △DPE的面积为S2 ． 求证：S1=（n+1）S2 ．

Answer 1

【答案】
（1）证明：延长BP交DE于M，

在△BCP和△DCE中，

，

∴△BCP≌△DCE，

∴BP=DE，∠CBP=∠CDE，

∵∠CDE+∠E=90°，

∴∠CBP+∠E=90°，即BP⊥DE

（2）证明：①∵CP=CE，∠PCE=90°，

∴∠CPE=45°，

∴∠FPD=∠CPE=45°，

∴∠PFD=45°，

∴FD=PD，

∵BC=2CE，

∴CD=2CE=2PC，即DP=CP，

∴DF=CP，

在△BCP和△CDF中，

，

∴△BCP≌△CDF，

∴∠FCD=∠CBP，

∵∠CBP+∠BPC=90°，

∴∠FCD+∠BPC=90°，即BP⊥CF；

②设CE=CP=1，则BC=CD=n，DP=CD﹣CP=n﹣1，

∴FD=DP=n﹣1，

S1=S梯形BCDF﹣S△BCP﹣S△FDP

= ×（BC+DF）×CD﹣ BC×CP﹣ DF×FP

= （n+n﹣1）×n﹣ n×1﹣ （n﹣1）2

= （n2﹣1）

= （n+1）（n﹣1），

S2= DP×CE= （n﹣1）×1= （n﹣1），

∴S1=（n+1）S2．

【解析】（1）延长BP交DE于M，证明△BCP≌△DCE，根据全等三角形的性质证明即可；（2）①根据等腰直角三角形的性质、正方形的性质证明△BCP≌△CDF，根据全等三角形的性质证明即可；②设CE=CP=1，根据题意用n表示出BC、DP，根据梯形、三角形的面积公式计算即可．