题目内容

【题目】如图,菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD的边AB、CD、DA上,连接CF.
(1)求证:∠HEA=∠CGF;
(2)当AH=DG时,求证:菱形EFGH为正方形.

【答案】
(1)证明:连接GE,

∵AB∥CD,

∴∠AEG=∠CGE,

∵GF∥HE,

∴∠HEG=∠FGE,

∴∠HEA=∠CGF


(2)证明:∵四边形ABCD是正方形,

∴∠D=∠A=90°,

∵四边形EFGH是菱形,

∴HG=HE,

在Rt△HAE和Rt△GDH中,

∴Rt△HAE≌Rt△GDH(HL),

∴∠AHE=∠DGH,又∠DHG+∠DGH=90°,

∴∠DHG+∠AHE=90°,

∴∠GHE=90°,

∴菱形EFGH为正方形;


【解析】(1)连接GE,根据正方形的性质和平行线的性质得到∠AEG=∠CGE,根据菱形的性质和平行线的性质得到∠HEG=∠FGE,解答即可;(2)证明Rt△HAE≌Rt△GDH,得到∠AHE=∠DGH,证明∠GHE=90°,根据正方形的判定定理证明.

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