题目内容

【题目】如图1,在正方形ABCD中,点E、F分别在边BC、CD上,且BE=DF,点P是AF的中点,点Q是直线AC与EF的交点,连接PQ、PD.

(1)求证:AC垂直平分EF;

(2)试判断PDQ的形状,并加以证明;

(3)如图2,若将CEF绕着点C旋转180°,其余条件不变,则(2)中的结论还成立吗?若成立,请加以证明;若不成立,请说明理由.

【答案】(1)证明见解析(2)PDQ是等腰直角三角形(3)成立

【解析】

试题分析:(1)由正方形的性质得出AB=BC=CD=AD,B=ADF=90°,BCA=DCA=45°,由BE=DF,得出CE=CF,CEF是等腰直角三角形,即可得出结论;

(2)由直角三角形斜边上的中线的性质得出PD=AF,PQ=AF,得出PD=PQ,再证明DPQ=90°,即可得出结论;

(3)由直角三角形斜边上的中线的性质得出PD=AF,PQ=AF,得出PD=PQ,再证明点A、F、Q、P四点共圆,由圆周角定理得出DPQ=2DAQ=90°,即可得出结论.

试题解析:(1)证明:四边形ABCD是正方形,

AB=BC=CD=AD,B=ADF=90°,BCA=DCA=45°,

BE=DF,

CE=CF,

AC垂直平分EF;

(2)解:PDQ是等腰直角三角形;理由如下:

点P是AF的中点,ADF=90°,

PD=AF=PA,

∴∠DAP=ADP,

AC垂直平分EF,

∴∠AQF=90°,

PQ=AF=PA,

∴∠PAQ=AQP,PD=PQ,

∵∠DPF=PAD+ADP,QPF=PAQ+AQP,

∴∠DPQ=2PAD+PAQ=2(PAD+PAQ)=2×45°=90°,

∴△PDQ是等腰直角三角形;

(3)成立;理由如下:

点P是AF的中点,ADF=90°,

PD=AF=PA,

BE=DF,BC=CD,FCQ=ACD=45°,ECQ=ACB=45°,

CE=CF,FCQ=ECQ,

CQEF,AQF=90°,

PQ=AF=AP=PF,

PD=PQ=AP=PF,

点A、F、Q、P四点共圆,

∴∠DPQ=2DAQ=90°,

∴△PDQ是等腰直角三角形.

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