Question

如图，已知抛物线y=

1

6

x²-

1

6

（b+1）x+

b

6

（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C．若在第一象限内存在点P，使得四边形PCOB的面积等于7

2

b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形．求：
（1）点A的坐标为

A（1，0）

．
（2）求符合要求的点P坐标为

P（12

2

，12

2

）

．

Answer 1

分析：（1）对于抛物线解析式，令y=0得到关于x的方程，求出方程的解得到x的值，根据A与B的位置关系即可确定出A的坐标；
（2）过P作PE垂直于x轴，过C作CD垂直于PE，利用AAS得出三角形PCD与三角形PBE全等，由全等三角形的对应边相等得到PE=CD，设P（x，x），即PE=CD=x，如图所示，四边形PCOB的面积=梯形OCPE的面积+直角三角形BPE的面积，令抛物线解析式中x为0表示出y，求出OC的长，利用梯形及三角形面积公式列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出P的坐标．

解答：解：（1）对于y=

1

6

x²-

1

6

（b+1）x+

b

6

，
令y=0，得到

1

6

x²-

1

6

（b+1）x+

b

6

=0，即x²-（b+1）x+b=0，
分解因式得：（x-1）（x-b）=0，
解得：x=1或x=b，
∵A在B的左边，
∴A（1，0），B（b，0）；
（2）过P作PE⊥x轴，过C作CD⊥PE，
对于y=

1

6

x²-

1

6

（b+1）x+

b

6

，
令x=0，得到y=

b

6

，即OC=

b

6

，
∵△BCP为等腰直角三角形，
∴PC=PB，∠CPB=90°，
∴∠CPD+∠BPE=90°，
∵∠CPD+∠PCD=90°，
∴∠BPE=∠PCD，
在△CDP和△PEB中，

∠PDC=∠BEP=90° ∠PCD=∠BPE PC=PB

，
∴△CDP≌△PEB（AAS），
∴CD=PE，
设P（x，x），则有CD=PE=x，
∵S_{四边形OCPB}=S_梯形OCPE+S_△PEB=

1

2

x（

b

6

+x）+

1

2

x（b-x）=7

2

b，
整理得：7x=84

2

，
解得：x=12

2

，
则P（12

2

，12

2

）．
故答案为：（1）A（1，0）；（2）P（12

2

，12

2

）

点评：此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：二次函数与坐标轴的交点，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，坐标与图形性质，以及梯形、三角形面积求法，根据题意得出CD=PE是解本题第二问的关键．