题目内容

【题目】如图1:在RtABC中,ABACDBC边上一点(不与点BC重合),试探索ADBDCD之间满足的等量关系,并证明你的结论.小明同学的思路是这样的:将线段AD绕点A逆时针旋转90°,得到线段AE,连接ECDE.继续推理就可以使问题得到解决.

1)请根据小明的思路,试探索线段ADBDCD之间满足的等量关系,并证明你的结论;

2)如图2,在RtABC中,ABACDABC外的一点,且∠ADC45°,线段ADBDCD之间满足的等量关系又是如何的,请证明你的结论;

3)如图3,已知AB是⊙O的直径,点CD是⊙O上的点,且∠ADC45°

①若AD6BD8,求弦CD的长为   

②若AD+BD14,求的最大值,并求出此时⊙O的半径.

【答案】1CD2+BD22AD2,见解析;(2BD2CD2+2AD2,见解析;(3)①7,②最大值为,半径为

【解析】

1)先判断出∠BADCAE,进而得出ABD≌△ACE,得出BDCE,∠B=∠ACE,再根据勾股定理得出DE2CD2+CE2CD2+BD2,在RtADE中,DE2AD2+AE22AD2,即可得出结论;

2)同(1)的方法得,ABD≌△ACESAS),得出BDCE,再用勾股定理的出DE22AD2CE2CD2+DE2CD2+2AD2,即可得出结论;

3)先根据勾股定理的出DE2CD2+CE22CD2,再判断出ACE≌△BCDSAS),得出AEBD

①将AD6BD8代入DE22CD2中,即可得出结论;

②先求出CD7,再将AD+BD14CD7代入,化简得出﹣(AD2+,进而求出AD,最后用勾股定理求出AB即可得出结论.

解:(1CD2+BD22AD2

理由:由旋转知,ADAE,∠DAE90°=∠BAC

∴∠BAD=∠CAE

ABAC

∴△ABD≌△ACESAS),

BDCE,∠B=∠ACE

RtABC中,ABAC

∴∠B=∠ACB45°

∴∠ACE45°

∴∠DCE=∠ACB+ACE90°

根据勾股定理得,DE2CD2+CE2CD2+BD2

RtADE中,DE2AD2+AE22AD2

CD2+BD22AD2

2BD2CD2+2AD2

理由:如图2

将线段AD绕点A逆时针旋转90°,得到线段AE,连接ECDE

同(1)的方法得,ABD≌△ACESAS),

BDCE,在RtADE中,ADAE

∴∠ADE45°

DE22AD2

∵∠ADC45°

∴∠CDE=∠ADC+ADE90°

根据勾股定理得,CE2CD2+DE2CD2+2AD2

即:BD2CD2+2AD2

3)如图3,过点CCECDDA的延长线于E

∴∠DCE90°

∵∠ADC45°

∴∠E90°﹣∠ADC45°=∠ADC

CDCE

根据勾股定理得,DE2CD2+CE22CD2

连接ACBC

AB是⊙O的直径,

∴∠ACB=∠ADB90°

∵∠ADC45°

∴∠BDC45°=∠ADC

ACBC

∵∠DCE=∠ACB90°

∴∠ACE=∠BCD

∴△ACE≌△BCDSAS),

AEBD

AD6BD8

DEAD+AEAD+BD14

2CD2142

CD7

故答案为7

②∵AD+BD14

CD7

ADBD+×7)=ADBD+7

ADBD+7ADAD14AD+7AD=﹣AD2+21AD=﹣(AD2+

∴当AD时,的最大值为

AD+BD14

BD14

RtABD中,根据勾股定理得,AB

∴⊙O的半径为OAAB

练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网