题目内容
17、如图，在△ABC中，D是BC边的中点，E、F分别在AD及其延长线上，CE∥BF，连接BE、CF．（1）求证：△BDF≌△CDE；
（2）若AB=AC，求证：四边形BFCE是菱形．
分析：（1）由CE、BF的内错角相等，可得出△CED和△BFD的两组对应角相等；已知D是BC的中点，即BD=DC，由AAS即可证得两三角形全等；
（2）若AB=AC，则△ABC是等腰三角形，而D是底边BC的中点，根据等腰三角形三线合一的性质可证得AD⊥BC；由（1）的全等三角形，易证得四边形BFCE的对角线互相平分；根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形即可判定四边形BFCE是菱形．
（2）若AB=AC，则△ABC是等腰三角形，而D是底边BC的中点，根据等腰三角形三线合一的性质可证得AD⊥BC；由（1）的全等三角形，易证得四边形BFCE的对角线互相平分；根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形即可判定四边形BFCE是菱形．
解答：证明：（1）∵CE∥BF，
∴∠ECD=∠FBD，∠DEC=∠DFB；
又∵D是BC的中点，即BD=DC，
∴△BDF≌△EDC；（AAS）
（2）∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形；
又∵BD=DC，∴AD⊥BC（三线合一），
由（1）知：△BDF≌△EDC，
则DE=DF，DB=DC；
∴四边形BFCE是菱形（对角线互相平分且互相垂直的四边形为菱形）．
∴∠ECD=∠FBD，∠DEC=∠DFB；
又∵D是BC的中点，即BD=DC，
∴△BDF≌△EDC；（AAS）
（2）∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形；
又∵BD=DC，∴AD⊥BC（三线合一），
由（1）知：△BDF≌△EDC，
则DE=DF，DB=DC；
∴四边形BFCE是菱形（对角线互相平分且互相垂直的四边形为菱形）．
点评：此题主要考查的是全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质及菱形的判定方法．
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