题目内容
【题目】如图,抛物线与轴交于A(
,0)、B(
,0)两点,且
,与
轴交于点
,其中
,
是方程
的两个根。
(1)求抛物线的解析式;
(2)点M是线段AB上的一个动点,过点M作MN∥BC,交AC于点N,连接CM,当△CMN的面积最大时,求点M的坐标;
(3)点D(4,k)在(1)中抛物线上,点E为抛物线上一动点,在x轴上是否存在点F,使以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形,如果存在,直接写出所有满足条件的点F的坐标,若不存在,请说明理由。
【答案】(1);(2)(2,0);(3)
.
【解析】试题分析:(1)根据一元二次方程解法得出A,B两点的坐标,再利用交点式求出二次函数解析式;
(2)首先判定△MNA∽△BCA.得出=
,进而得出函数的最值;
(3)分别根据当AF为平行四边形的边时,AF平行且等于DE与当AF为平行四边形的对角线时,分析得出符合要求的答案.
试题解析:
(1)∵,
∴,
∴,
又∵抛物线过点A、B、C,
故设抛物线的解析式为,
将点C的坐标代入,求得
∴抛物线的解析式为
(2)设点M的坐标为(m,0),过点N作NH⊥x轴于点H
∵点A的坐标为(-2,0),点B的坐标为(6,0),
∴AB=8,AM=m+2。
∵MN∥BC,
∴. △MNA和△BCA相似,
∴,
∴,
∴
∴
∴当m=2时, 有最大值4。
此时,点M的坐标为(2,0)。
(3)∵点D(4,k)在抛物线上,
∴当x=4时,k=-4,
∴点D的坐标是(4,-4)。
如图(2),当AF为平行四边形的边时,AF DE,AF=DE,
∵D(4,-4),∴E(0,-4),DE=4。
∴F(-6,0),F(2,0)。
如图(3),当AF为平行四边形的对角线时,
设F(n,0),则平行四边形的对称中心为(,0)。
∴E′的坐标为(n-6,4)。
把E′(n-6,4)代入,得
解得
∴,
.
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