题目内容

如图,OA和OB是⊙O的半径,并且OA⊥OB,P是OA上任一点,BP的延长线交⊙O于Q,过Q的⊙O的切线交OA的延长线于R.求证:RP=RQ.
分析:首先连接OQ,由切线的性质,可得∴∠OQB+∠BQR=90°,又由OA⊥OB,可得∠OPB+∠B=90°,继而可证得∠PQR=∠BPO=∠RPQ,则可证得RP=RQ.
解答:证明:连接OQ,
∵RQ是⊙O的切线,
∴OQ⊥QR,
∴∠OQB+∠BQR=90°.
∵OA⊥OB,
∴∠OPB+∠B=90°.
又∵OB=OQ,
∴∠OQB=∠B.
∴∠PQR=∠BPO=∠RPQ.
∴RP=RQ.
点评:此题考查了切线的性质、等腰三角形的性质以及垂直的定义.此题难度不大,注意掌握辅助线的作法,注意数形结合思想的应用.
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