Question

对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为<x>
即：当n为非负整数时，如果，则<x>=n，
如：<0>=<0.48>=0，<0.64>=<1.493>=1，<2>=2，<3.5>=<4.12>=4，…
试解决下列问题：
（1）填空：①<π>=____（π为圆周率）；
②如果<2x-1>=3，则实数x的取值范围为____；
（2）①当；m为非负整数时，求证：<x+m>=m+<x>；
②举例说明不恒成立；
（3）求满足的所有非负实数x的值；
（4）设n为常数，且为正整数，函数y=x²-x+的自变量x在n≤x≤n+1范围内取值时，函数值y为整数的个数记为a；满足的所有整数k的个数记为b，求证：a=b=2n。

Answer 1

解：（1）①3；②；
（2）①证明：
设<x>=n，
则n-≤x＜n+，n为非负整数；
又（n+m）-≤x+m＜（n+m）+，且m+n为非负整数，
∴<x+m>=n+m=m+<x>；
②举反例：<0.6>+<0.7>=1+1=2，
而<0.6+0.7>=<1.3>=1，
∴<0.6>+<0.7>≠<0.6+0.7>，
∴<x>+<y>=<x+y>不一定成立；
（3）作y=<x>，y=的图象，如图

y=<x>的图象与y=图象交于点（0，0）、、，
∴x=0，；
（4）∵函数y=x²-x+=（x-）²，n为整数，
当n≤x＜n+1时，y随x的增大而增大，
∴（n-）²≤y＜（n+1-）²，
即（n-）²≤y＜（n+）²，①
∴n²-n+≤y＜n²+n+，
∵y为整数，
∴y=n²-n+1，n²-n+2，n²-n+3，…，n²-n+2n，共2n个y，
∴a=2n②，
则，③
比较①，②，③得：a=b=2n。