题目内容
【题目】已知,点P是直角三角形ABC斜边AB上一点(不与A,B重合),分别过A,B向直线CP作垂线,垂足分别为E,F,Q为斜边AB的中点.
(1)如图1,当点P与点Q重合时,AE与BF的位置关系是 ,QE与QF的数量关系是 ;
(2)如图2,当点P在线段AB上不与点Q重合时,若AC=BC,CE:AE=1:3,△FBQ的面积等于3,求△AQE的面积;
(3)如图3,当点P在线段BA的延长线上时,请画出符合条件的图形.若AC=BC,AE:CE=1:3,△FEQ的面积等于3,求△AQE的面积.
【答案】(1)AE∥BF,QE=QF;(2)9;(3).
【解析】
(1)根据AAS推出△AEQ≌△BFQ,推出AE=BF即可;(2)延长EQ交BF于D,求出△AEQ≌△BDQ,根据全等三角形的性质得出EA=BD,再证明△AEQ≌△BDQ,所以AE=BD,CE=BF,又因为CE:AE=1:3,从而得BF:BD=1:3,即△FBQ的面积:△DBQ的面积=1:3,计算△DBQ的面积=9,从而求解;(3)方法同(2)证出 Rt△AEC≌Rt△CFB,连接CQ, 由AE:CE=1:3,得CF:CE=1:3,再根据高相等的三角形面积比等于底的比得出△CFQ的面积与△EFQ的面积面积比,从而求出△CFQ的面积,然后根据SAS 证明 △QAE≌△QCF,从而求解.
解:(1)当点P与点Q重合时,AE与BF的位置关系是AE∥BF,QE与QF的数量关系是AE=BF,
理由是:∵Q为AB的中点,
∴AQ=BQ,
∵AE⊥CQ,BF⊥CQ,
∴AE∥BF,∠AEQ=∠BFQ=90°,
在△AEQ和△BFQ中,
∴△AEQ≌△BFQ,
∴QE=QF,
故答案为:AE∥BF,QE=QF;
(2) 延长EQ交BF于D,如图2:
∵由(1)知:AE∥BF,
∴∠AEQ=∠BDQ,
在△AEQ和△BDQ中,
∴△AEQ≌△BDQ,
∴AE=BD,
∵∠ACE+∠FCB=∠FCB+∠CBF=90°
∴∠ACE =∠CBF
又∵∠AEC=∠CFB=90°,AC=CB,
∴△AEQ≌△BDQ
∴AE=BD,CE=BF
又∵CE:AE=1:3,∴BF:BD=1:3,即△FBQ的面积:△DBQ的面积=1:3
又∵△FBQ的面积等于3,∴△DBQ的面积=9,
∵△AEQ≌△BDQ,
∴△AEQ的面积=9;
(3)图形如下:连接CQ,
方法同(2)可得:Rt△AEC≌Rt△CFB(一线三等角),
∴AE=CF,EC=FB,∠EAC=∠FCB,
∵AE:CE=1:3,
∴CF:CE=1:3,
∴△CFQ的面积:△ECQ的面积=1:3,△CFQ的面积:△EFQ的面积=1:4,△FEQ的面积等于3,
即:△CFQ的面积=,
∵Q为斜边AB的中点,AC=BC,
∴CQ=AQ,∠QAC=∠QCB=45°,
∴∠EAC+∠QAC =∠FCB+∠QCB,
即∠QAE=∠QCF
∴△QAE≌△QCF (SAS)
∴△AQE的面积=△CFQ的面积=,
