题目内容

【题目】已知,点P是直角三角形ABC斜边AB上一点(不与AB重合),分别过AB向直线CP作垂线,垂足分别为EFQ为斜边AB的中点.

1)如图1,当点P与点Q重合时,AEBF的位置关系是  QEQF的数量关系是 

2)如图2,当点P在线段AB上不与点Q重合时,若ACBCCEAE1:3,△FBQ的面积等于3,求△AQE的面积;

3)如图3,当点P在线段BA的延长线上时,请画出符合条件的图形.若ACBCAECE1:3,△FEQ的面积等于3,求△AQE的面积.

【答案】1AEBFQE=QF;(29;(3.

【解析】

1)根据AAS推出AEQ≌△BFQ,推出AE=BF即可;(2)延长EQBFD,求出AEQ≌△BDQ,根据全等三角形的性质得出EA=BD,再证明AEQ≌△BDQ,所以AE=BDCE=BF,又因为CEAE1:3,从而得BF:BD=1:3,FBQ的面积:DBQ的面积=1:3,计算DBQ的面积=9,从而求解;(3)方法同(2)证出 RtAECRtCFB,连接CQ, AECE1:3,得CFCE1:3,再根据高相等的三角形面积比等于底的比得出CFQ的面积与EFQ的面积面积比,从而求出CFQ的面积,然后根据SAS 证明 QAE≌△QCF,从而求解.

解:(1)当点P与点Q重合时,AEBF的位置关系是AEBFQEQF的数量关系是AE=BF
理由是:∵QAB的中点,
AQ=BQ
AECQBFCQ
AEBF,∠AEQ=BFQ=90°
AEQBFQ中,


∴△AEQ≌△BFQ
QE=QF
故答案为:AEBFQE=QF

(2) 延长EQBFD,如图2

∵由(1)知:AEBF
∴∠AEQ=BDQ
AEQBDQ中,

∴△AEQ≌△BDQ

AE=BD,

∵∠ACE+FCB=FCB+CBF=90°

∴∠ACE =CBF

又∵∠AEC=CFB=90°AC=CB,

∴△AEQ≌△BDQ

AE=BDCE=BF

又∵CEAE1:3,∴BF:BD=1:3,FBQ的面积:DBQ的面积=1:3

又∵FBQ的面积等于3,∴DBQ的面积=9,
AEQ≌△BDQ

AEQ的面积=9

3)图形如下:连接CQ,

方法同(2)可得:RtAECRtCFB(一线三等角)

AE=CFEC=FB,∠EAC=FCB,

AECE1:3

CFCE1:3

∴△CFQ的面积:ECQ的面积=1:3CFQ的面积:EFQ的面积=1:4FEQ的面积等于3

即:CFQ的面积=

Q为斜边AB的中点,AC=BC,

CQ=AQ,∠QAC=QCB=45°

∴∠EAC+QAC =FCB+QCB

即∠QAE=QCF

QAE≌△QCF (SAS)

AQE的面积=CFQ的面积=

练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网