题目内容
【题目】矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知
，点A在x轴上，点C在y轴上，P是对角线OB上一动点（不与原点重合），连接PC，过点P作
，交x轴于点D．下列结论：①
；②当点D运动到OA的中点处时，
；③在运动过程中，
是一个定值；④当△ODP为等腰三角形时，点D的坐标为
．其中正确结论的个数是（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】
①根据矩形的性质即可得到
；故①正确；
②由点D为OA的中点，得到
，根据勾股定理即可得到
，故②正确；
③如图，过点P作
于F，FP的延长线交BC于E，
，则
，根据三角函数的定义得到
，求得
，根据相似三角形的性质得到
，根据三角函数的定义得到
，故③正确；
④当
为等腰三角形时，Ⅰ、
，解直角三角形得到
，
Ⅱ、OP＝OD，根据等腰三角形的性质和四边形的内角和得到
，故不合题意舍去；
Ⅲ、
，根据等腰三角形的性质和四边形的内角和得到，故不合题意舍去；于是得到当为等腰三角形时，点D的坐标为
．故④正确．
解：①∵四边形OABC是矩形，
，
；故①正确；
②∵点D为OA的中点，
，
，故②正确；
③如图，过点P作 A于F，FP的延长线交BC于E，
，四边形OFEC是矩形，
，
设
，则
，
在
中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故③正确；
④
，四边形OABC是矩形，
，
，
，
当为等腰三角形时，
Ⅰ、
Ⅱ、
，
，故不合题意舍去；
Ⅲ、
，
，
故不合题意舍去，
∴当为等腰三角形时，点D的坐标为．故④正确，
故选：D．
练习册系列答案
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