Question

在直角坐标系XOY中，二次函数图象的顶点坐标为C(4，-

3

)，且与x轴的两个交点间的距离为6．
（1）求二次函数解析式；
（2）在x轴上方的抛物线上，是否存在点Q，使得以点Q、A、B为顶点的三角形与△ABC相似？如果存在，请求出Q点的坐标，如果不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵顶点坐标为C（4，-

3

），且与x轴的两个交点间的距离为6，
∴对称轴x=4，A（1，0），B（7，0），
设抛物线解析式y=a（x-1）（x-7），将C点坐标代入可得a=

3

9

，
∴所求解析式为y=

3

9

x²-

8 3

9

x+

7 3

9

；

（2）在x轴上方的抛物线上存在点Q，使得以点Q、A、B为顶点的三角形与△ABC相似，
因为△ABC为等腰三角形，
∴当AB=BQ，
∵AB=6，
∴BQ=6，过点C作CD⊥x轴于D，则AD=3，CD=

3

∴∠BAC=∠ABC=30°，
∴∠ACB=120°，
∴∠ABQ=120°，过点Q作QE⊥x轴于E，则∠QBE=60°，
∴QE=BQsin60°=6×

3

2

=3

3

，
∴BE=3，
∴E（10，0），Q(10，3

3

)．
当x=10时，y=

3

9

×10²-

8 3

9

×10+

7 3

9

=3

3

；
∴点Q在抛物线上，由抛物线的对称性，
还存在一点Q′(-2，3

3

)，使△ABQ′∽△CAB故存在点Q(10，3

3

)或(-2，3

3

)．