Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：

对于⊙C及⊙C外一点P，M，N是⊙C上两点，当∠MPN最大时，称∠MPN为点P关于⊙C的“视角”．

（1）如图，⊙O的半径为1，

①已知点A（0，2），画出点A关于⊙O的“视角”；

若点P在直线x = 2上，则点P关于⊙O的最大“视角”的度数 ；

②在第一象限内有一点B（m，m），点B关于⊙O的“视角”为60°，求点B的坐标；

③若点P在直线上，且点P关于⊙O的“视角”大于60°，求点P的横坐标的取值范围．

（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为1，点E的坐标为（0，1），点F的坐标为（0，-1），若线段EF上所有的点关于⊙C的“视角”都小于120°，直接写出点C的横坐标的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）①画图见解析；②B（， ）③0<<（2）<或>．

【解析】（1）①如图1中，过点A作⊙O的切线，切点分别为M、N. 点A关于⊙O的“视角”就是两条切线的夹角，∠MAN就是点P在直线x = 2关于⊙O的“视角”；②由①可知，点A关于⊙O的“视角”为60°，根据对称性即可推出点B的坐标；由点P在直线上，从而可求出点P的横坐标的取值范围.

（2）当⊙C的圆心在x轴上，设切点为P，连接PC则PC⊥AP，想办法求出点C的坐标，求出此时的点C坐标，即可解决问题.

解：（1）①画图

60°

②∵点B关于⊙O的视角为60°，

∴点B在以O为圆心，2为半径的圆上，即OB=2

∵B（m，m） (m>0)，

∴OB=，

∴.

∴B（， ）

③∵点P关于⊙O的“视角”大于60°，

∴点P在以O为圆心1为半径与2为半径的圆环内.

∵点P在直线上，由上可得 =0或

∴0<<

（2）<或span>>．

“点睛”本题考圆综合题、切线的性质、一次函数的应用，解题的关键是理解题意，灵活应用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，学会寻找特殊位置解决问题，属于中考压轴题.