题目内容
【题目】(12分)如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别交BC,AC于点D,E,DG⊥AC于点G,交AB的延长线于点F.
(1)求证:直线FG是⊙O的切线;
(2)若AC=10,cosA=,求CG的长.
【答案】(1)证明见试题解析;(2)3.
【解析】
试题分析:(1)先得出OD∥AC,有∠ODG=∠DGC,再由DG⊥AC,得到∠DGC=90°,∠ODG=90°,得出OD⊥FG,即可得出直线FG是⊙O的切线.
(2)先得出△ODF∽△AGF,再由cosA=,得出cos∠DOF=
;然后求出OF、AF的值,即可求出AG、CG的值.
试题解析:(1)如图1,连接OD,∵AB=AC,∴∠C=∠ABC,∵OD=OB,∴∠ABC=∠ODB,∴∠ODB=∠C,∴OD∥AC,∴∠ODG=∠DGC,∵DG⊥AC,∴∠DGC=90°,∴∠ODG=90°,∴OD⊥FG,∵OD是⊙O的半径,∴直线FG是⊙O的切线;
(2)如图2,∵AB=AC=10,AB是⊙O的直径,∴OA=OD=10÷2=5,由(1),可得:OD⊥FG,OD∥AC,∴∠ODF=90°,∠DOF=∠A,在△ODF和△AGF中,∵∠DOF=∠A,∠F=∠F,∴△ODF∽△AGF,∴,∵cosA=
,∴cos∠DOF=
,∴OF=
=
=
,∴AF=AO+OF=
=
,∴
,解得AG=7,∴CG=AC﹣AG=10﹣7=3,即CG的长是3.

【题目】王华、张伟两位同学分别将自己10次数学自我检测的成绩绘制成如下统计图:
(1)根据上图中提供的数据列出如下统计表:
平均成绩(分) | 中位数(分) | 众数(分) | 方差(S2) | |
王华 | 80 | b | 80 | d |
张伟 | a | 85 | c | 260 |
则a= ,b= ,c= ,d= ,
(2)将90分以上(含90分)的成绩视为优秀,则优秀率高的是 .
(3)现在要从这两个同学选一位去参加数学竞赛,你可以根据以上的数据给老师哪些建议?