题目内容
(2013•永州模拟)如图,抛物线y=mx2+2mx-3m(m≠0)的顶点为H,与x轴交于A、B两点(B点在A点右侧),点H、B关于直线l:y=
x+
对称,过点B作直线BK∥AH交直线l于K点.
(1)求A、B两点坐标,并证明点A在直线l上;
(2)求此抛物线的解析式;
(3)将此抛物线向上平移,当抛物线经过K点时,设顶点为N,直接写出NK的长.
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3 |
3 |
(1)求A、B两点坐标,并证明点A在直线l上;
(2)求此抛物线的解析式;
(3)将此抛物线向上平移,当抛物线经过K点时,设顶点为N,直接写出NK的长.
分析:(1)令y=0,解关于x的一元二次方程,即可得到点A、B的坐标;然后把点A的坐标代入直线l的解析式,计算即可证明点A在直线上;
(2)根据轴对称的性质可得AH=AB,根据直线l的解析式求出直线l与x轴的夹角为30°,然后得到∠HAB的度数是60°,过点H作HC⊥x轴于点C,然后解直角三角形求出AC、HC,从而得到OC的长度,然后写出点H的坐标,再把点H的坐标代入抛物线解析式计算求出m的值,即可得解;
(3)根据平行直线的解析式的k值相等求出直线BK的解析式的k值,然后利用待定系数法求出直线BK的解析式,与直线l的解析式联立求解得到点K的值,再利用抛物线解析式求出相应横坐标上的点,从而求出抛物线向上移动的距离,然后得到平移后的抛物线的顶点N的坐标,根据两点间的距离公式计算即可得到NK的值.
(2)根据轴对称的性质可得AH=AB,根据直线l的解析式求出直线l与x轴的夹角为30°,然后得到∠HAB的度数是60°,过点H作HC⊥x轴于点C,然后解直角三角形求出AC、HC,从而得到OC的长度,然后写出点H的坐标,再把点H的坐标代入抛物线解析式计算求出m的值,即可得解;
(3)根据平行直线的解析式的k值相等求出直线BK的解析式的k值,然后利用待定系数法求出直线BK的解析式,与直线l的解析式联立求解得到点K的值,再利用抛物线解析式求出相应横坐标上的点,从而求出抛物线向上移动的距离,然后得到平移后的抛物线的顶点N的坐标,根据两点间的距离公式计算即可得到NK的值.
解答:解:(1)令y=0,则mx2+2mx-3m=0(m≠0),
解得x1=-3,x2=1,
∵B点在A点右侧,
∴A点坐标为(-3,0),B点坐标为(1,0),
证明:∵直线l:y=
x+
,
当x=-3时,y=
×(-3)+
=-
+
=0,
∴点A在直线l上;
(2)∵点H、B关于过A点的直线l:y=
x+
对称,
∴AH=AB=4,
设直线l与x轴的夹角为α,则tanα=
,
所以,∠α=30°,
∴∠HAB=60°,
过顶点H作HC⊥AB交AB于C点,
则AC=
AB=2,HC=
=2
,
∴顶点H(-1,2
),
代入抛物线解析式,得m×(-1)2+2m×(-1)-3m=2
,
解得m=-
,
所以,抛物线解析式为y=-
x2-
x+
;
(3)∵过点B作直线BK∥AH交直线l于K点,
∴直线BK的k=tan60°=
,
设直线BK的解析式为y=
x+b,
∵B点坐标为(1,0),
∴
+b=0,
解得b=-
,
∴直线BK的解析式为y=
x-
,
联立
,
解得
,
∴点K的坐标为(3,2
),
当x=3时,y=-
×32-
×3+
=-6
,
∴平移后与点K重合的点的坐标为(3,-6
),
平移距离为2
-(-6
)=8
,
∵平移前顶点坐标为(-1,2
),
2
+8
=10
,
∴平移后顶点坐标N(-1,10
),
∴NK=
=
=4
,
所以,NK的长是4
.
解得x1=-3,x2=1,
∵B点在A点右侧,
∴A点坐标为(-3,0),B点坐标为(1,0),
证明:∵直线l:y=
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3 |
3 |
当x=-3时,y=
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3 |
3 |
3 |
3 |
∴点A在直线l上;
(2)∵点H、B关于过A点的直线l:y=
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3 |
3 |
∴AH=AB=4,
设直线l与x轴的夹角为α,则tanα=
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3 |
所以,∠α=30°,
∴∠HAB=60°,
过顶点H作HC⊥AB交AB于C点,
则AC=
1 |
2 |
42-22 |
3 |
∴顶点H(-1,2
3 |
代入抛物线解析式,得m×(-1)2+2m×(-1)-3m=2
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解得m=-
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2 |
所以,抛物线解析式为y=-
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2 |
3 |
3
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2 |
(3)∵过点B作直线BK∥AH交直线l于K点,
∴直线BK的k=tan60°=
3 |
设直线BK的解析式为y=
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∵B点坐标为(1,0),
∴
3 |
解得b=-
3 |
∴直线BK的解析式为y=
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联立
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解得
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∴点K的坐标为(3,2
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当x=3时,y=-
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3
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∴平移后与点K重合的点的坐标为(3,-6
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平移距离为2
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3 |
∵平移前顶点坐标为(-1,2
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2
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3 |
∴平移后顶点坐标N(-1,10
3 |
∴NK=
(-1-3)2+(10
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208 |
13 |
所以,NK的长是4
13 |
点评:本题是二次函数综合题型,主要涉及求与x轴的交点坐标,二次函数图象上的点的坐标特征,轴对称图形的性质,解直角三角形,待定系数法求二次函数解析式,联立两直线解析式求交点坐标,两点间的距离公式,综合性较强,难度较大.
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