Question

（11·大连）（本题12分）如图15，抛物线y＝ax²＋bx＋c经过A(－1，0)、B (3，

0)、C(0，3)三点，对称轴与抛物线相交于点P、与直线BC相交于点M，连接PB．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）抛物线上是否存在一点Q，使△QMB与△PMB的面积相等，若存在，求点Q的坐标；

若不存在，说明理由；

（3）在第一象限、对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R，使△RPM与△RMB的面积相

等，若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由．

 

Answer 1

解：（1）设抛物线解析式为y＝a(x＋1)(x－3)

∴3＝a·(－3)  即＝a－1

∴所求的解析式为y＝－(x＋1)(x－3)＝－x²＋2x＋3…………………………2分

解法二：把三点代入抛物线解析式y＝ax²＋bx＋c，

∴所求的解析式为y＝－(x＋1)(x－3)＝－x²＋2x＋3…………………………2分

（2）存在

y＝－x²＋2x＋3＝－(x－1)²＋4  ∴点P的坐标为 (1，4)

设直线BC的解析式为y＝kx＋b，

即y＝－x＋3

∴点M的坐标为 (1，2) …………………………3分

设对称轴与x轴相交于点N，则MN＝PM，

∴△NMB与△PMB的面积相等

∴△QMB与△PMB的面积相等

∴点Q在过点P且平行于BC的直线l₁或过点N且平行于BC的直线l₂上，

设l₁的解析式为y＝－x＋b₁，则4＝－1＋b₁，b₁＝5，∴y＝－x＋5

设l₂的解析式为y＝－x＋b₂，则0＝－1＋b₂，b₂＝1，∴y＝－x＋1………………………6分

设l₁与抛物线相交于点Q (m，－m＋5)  l₂与抛物线相交于点Q’ (n，－n＋1) 

－m＋5＝－m²＋2m＋3   解得m₁＝1（舍去），m₂＝2，∴Q (2，3) ……………………7分

－n＋1＝－n²＋2n＋3 

解析:略