Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-

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(x-2)2+k与y轴交于点A（0，1），过点A和 x轴平行的直线与抛物线的另一个交点为B．P为抛物线上一点（点P不与A、B重合），设点P的横坐标为m，△PAB的面积为S．
（1）求点B的坐标．
（2）求S与m之间的函数关系式．
（3）当S=4时，求m的值．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据抛物线y=-

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2

(x-2)2+k与y轴交于点A（0，1），直接代入A点得出抛物线解析式，再利用y=1时进而得出x的值，即可得出B点坐标；
（2）首先表示出P点坐标，进而表示出△PAB的底与高的长度，即可得出S与m的关系式；
（3）将S=4代入（2）中所求，即可得出答案．

解答：解：（1）∵抛物线y=-

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(x-2)2+k与y轴交于点A（0，1），
∴1=-

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（0-2）²+k，
解得：k=3，
则抛物线解析式为：y=-

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2

（x-2）²+3=-

1

2

x²+2x+1，
∵过点A和 x轴平行的直线与抛物线的另一个交点为B，
∴1=-

1

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（x-2）²+3，
解得：x₁=0，x₂=4，
∴B点坐标为：（4，1）；

（2）当P点在AB上方时，设点P的横坐标为m，△PAB的面积为S，
∴P点坐标为：（m，-

1

2

m²+2m+1），
由题意可得出：AB=4，P到AB的距离为：-

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2

m²+2m+1-1=-

1

2

m²+2m，
∴S=

1

2

×4×（-

1

2

m²+2m）=-m ²+4m；
∴S与m之间的函数关系式为：S=-m ²+4m；
当P点在AB下方时，设点P的横坐标为m，△PAB的面积为S，
∴P点坐标为：（m，-

1

2

m²+2m+1），
由题意可得出：AB=4，P到AB的距离为：1+

1

2

m²-2m-1=

1

2

m²-2m，
∴S=

1

2

×4×（

1

2

m²-2m）=m ²-4m；
∴S与m之间的函数关系式为：S=m ²-4m；

（3）当S=4时，
则4=-m ²+4m，
解得：m₁=m₂=2，
4=m ²-4m，
解得：m₃=2+2

2

，m₄=2-2

2

．
即m的值为2，2+2

2

，2-2

2

．

点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及三角形面积求法和图象上点的坐标性质，根据P点坐标得出P到AB的距离是解题关键．