题目内容
如图，等腰直角△ABC和等边△AEF都是半径为R的圆的内接三角形．（1）求AF的长；
（2）通过对△ABC和△AEF的观察，请你先猜想谁的面积大，再证明你的猜想．
【答案】分析：（1）连接OF，过O作OG⊥AF于G，在直角△OGF中，利用三角函数即可求解；
（2）根据外接圆的半径是R，即可求得等腰直角△ABC和等边△AEF的面积，即可作出比较．
解答：
解：（1）连接OF，过O作OG⊥AF于G，OF=R，
又∵△AEF为等边三角形，
∴∠AOF=120°，
∴∠GOF=60°，
∴GF=
R，则AF=
R
（2）S△ABC＜S△AEF，
∵直角△ABC是等腰直角三角形．
∴AB=2R，
∴AC=
R，
∴S△ABC=R2
，
，
∴S△ABC＜S△AEF
点评：本题主要考查了正多边形与圆的计算，正确理解等腰直角三角形的斜边就是外接圆的直径，正多边形的计算可以转化为直角三角形的计算．
（2）根据外接圆的半径是R，即可求得等腰直角△ABC和等边△AEF的面积，即可作出比较．
解答：
解：（1）连接OF，过O作OG⊥AF于G，OF=R，又∵△AEF为等边三角形，
∴∠AOF=120°，
∴∠GOF=60°，
∴GF=
R，则AF=R（2）S△ABC＜S△AEF，
∵直角△ABC是等腰直角三角形．
∴AB=2R，
∴AC=
R，∴S△ABC=R2
，，∴S△ABC＜S△AEF
点评：本题主要考查了正多边形与圆的计算，正确理解等腰直角三角形的斜边就是外接圆的直径，正多边形的计算可以转化为直角三角形的计算．
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