Question

【题目】如图，E是ABCD的边CD的中点，延长AE交BC的延长线于点F．
（1）求证：△ADE≌△FCE．
（2）若∠BAF=90°，BC=5，EF=3，求CD的长．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AB∥CD，

∴∠DAE=∠F，∠D=∠ECF，

∵E是ABCD的边CD的中点，

∴DE=CE，

在△ADE和△FCE中，

，

∴△ADE≌△FCE（AAS）

（2）

解：∵ADE≌△FCE，

∴AE=EF=3，

∵AB∥CD，

∴∠AED=∠BAF=90°，

在ABCD中，AD=BC=5，

∴DE= = =4，

∴CD=2DE=8

【解析】（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，AB∥CD，证出∠DAE=∠F，∠D=∠ECF，由AAS证明△ADE≌△FCE即可；
　　　　（2）由全等三角形的性质得出AE=EF=3，由平行线的性质证出∠AED=∠BAF=90°，由勾股定理求出DE，即可得出CD的长．此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定方法、勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．