题目内容
【题目】如图所示,抛物线yx2bxc与直线y
x3分别交于x轴,y轴上的B,C两点,设该抛物线与x轴的另一个交点为A,顶点为D,连接CD交x轴于点E.
(1)求该抛物线的函数表达式;
(2)求该抛物线的对称轴和D点坐标;
(3)点F,G是对称轴上两个动点,且FG=2,点F在点G的上方,请直接写出四边形ACFG的周长的最小值;
(4)连接BD,若P在y轴上,且∠PBC=∠DBA+∠DCB,请直接写出点P的坐标.
【答案】(1);(2)直线
;(3)
;(4)点P的坐标为
或
【解析】
(1)先根据直线求出B,C的坐标,然后利用待定系数法求抛物线的表达式即可;
(2)将抛物线的表达式变为顶点式,即可得到对称轴和D点坐标;
(3)因为AC,FG的值固定,所以只需找到的最小值即可,过点C作抛物线对称轴
的对称点
,将
向下平移2个单位使F与点G重合,得到
,则
,当
三点共线时,
最小,最小值即为
的长度,通过勾股定理求出
的值即可求解;
(4)分两种情况:当点P在y轴正半轴时和当点P在y轴负半轴时,首先通过锐角三角函数得出,从而得出
,设
,则
,通过
建立一个关于m的方程解方程即可求出PC的值,进而OP的长度即可,则P的坐标可求.
解:(1)令,则
,
令,则
,解得
,
,
将点代入
中得,
,
解得
∴抛物线的解析式为;
(2)∵,
∴抛物线的对称轴为,
;
(3)∵抛物线的对称轴为,
,
,
∵,
∵四边形ACFG的周长为,而
,
∴只需找到的最小值即可,
过点C作抛物线对称轴的对称点
,将
向下平移2个单位使F与点G重合,得到
,则
,
当三点共线时,
最小,最小值即为
的长度,
,抛物线对称轴为
,
,
,
,
,
∴四边形ACFG的周长的最小值为;
(4)如图,当点P在y轴正半轴时,过点P作交BC的延长线于点Q,
∵,
.
设直线的解析式为
,
将代入解析式中得
,
解得,
∴直线CB解析式为,
令,则
,解得
,
∴,
,
.
,
,
,
.
,
.
,
.
设,则
,
,
,
解得,
,
,
;
当点P在y轴负半轴时,如图,
同理可得.
设,则
,
,
,
解得,
,
,
,
综上所述,点P的坐标为或
.

【题目】2020年,由于“疫情”的原因,学校未能准时开学,某中学为了了解学生在家“课间”活动情况,在七、八、九年级的学生中,分别抽取了相同数量的学生对“你最喜欢的运动项目”在线进行调查(每人只能选一项),调查结果的部分数据如下表(图)所示,其中七年级最喜欢跳绳的人数比八年级多5人,九年级最喜欢排球的人数为10人.
七年级学生最喜欢的运动项目人数统计表
项目 | 排球 | 篮球 | 踢毽 | 跳绳 | 其他 |
人数(人) | 7 | 8 | 14 | 6 |
请根据以上统计表(图)解答下列问题:
(1)本次调查共抽取的人数为 人;
(2)请直接补全统计表和统计图;
(3)根据抽样调查的结果,请你估计该校1500名学生中有多少名学生最喜欢踢毽子?
【题目】我市某工艺厂为配合北京奥运,设计了一款成本为20元∕件的工艺品投放市场进行试销.经过调查,得到如下数据:
销售单价x(元/件) | … | 30 | 40 | 50 | 60 | … |
每天销售量y(件) | … | 500 | 400 | 300 | 200 | … |
(1)把上表中x、y的各组对应值作为点的坐标,在下面的平面直角坐标系中描出相应的点,猜想y与x的函数关系,并求出函数关系式;
(2)当销售单价定为多少时,工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大?最大利润是多少?(利润=销售总价﹣成本总价)
(3)当地物价部门规定,该工艺品销售单价最高不能超过45元/件,那么销售单价定为多少时,工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大?