Question

如图，已知抛物线的顶点为M（2，-4），且过点A（-1，5），连接AM交x轴于点B．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）求点B的坐标；
（3）设点P（x，y）是抛物线在x轴下方、顶点左方一段上的动点，连接PO，以P为顶点、PO为腰的等腰三角形的另一顶点Q在x轴的垂线交直线AM于点R，连接PR，设△PQR的面积为S，求S与x之间的函数关系式；
（4）在上述动点P（x，y）中，是否存在使S_△PQR=2的点？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）∵根据抛物线过M（2，-4），A（-1，5），O（0，0）三点，
设抛物线的解析式为y=ax²+bx（a≠0），
把M（2，-4），A（-1，5）代入得

4a+2b=-4 a-b=5

，
解得

a=1 b=-4

，
这条抛物线的解析式为y=x²-4x；

（2）设直线AM的解析式为y=kx+b（k≠0），
把M（2，-4），A（-1，5）两点代入得

2k+b=-4 -k+b=5

，
解得

k=-3 b=2

，
故直线AM的解析式为y=-3x+2，
令y=0，解得x=

2

3

，
故B点坐标为（

2

3

，0）；

（3）设点P（x，y）则，Q的坐标是（2x，0），
代入直线AM的解析式y=-3x+2，就可以求出R的坐标．
得到QR的长度，QR边上的高是x，
∴S=

-3x2+x(0＜x＜ 1 3 ) 3x2-x( 1 3 ＜x＜2)

．

（4）s=2代入（3）中函数的解析式即可得
2=-3x²+x或2=3x²-x，
当2=-3x²+x，方程的△＜0，方程无解；
当2=3x²-x，解得：x₁=1，x₂=-

2

3

，
当x=1时y=x²-4x=-3，即抛物线上的P点坐标为（1，-3）时，s=2成立；
当x=-

2

3

＜0（舍去），
∴存在动点P，使S=2，此时P点坐标为（1，-3）．