Question

（2012•厦门）已知点A（1，c）和点B（3，d）是直线y=k₁x+b与双曲线y=

k2

x

（k₂＞0）的交点．
（1）过点A作AM⊥x轴，垂足为M，连接BM．若AM=BM，求点B的坐标．
（2）若点P在线段AB上，过点P作PE⊥x轴，垂足为E，并交双曲线y=

k2

x

（k₂＞0）于点N．当

PN

NE

取最大值时，有PN=

1

2

，求此时双曲线的解析式．

Answer 1

分析：（1）过B作BN⊥x轴，由点A（1，c）和点B（3，d）都在双曲线y=

k2

x

（k₂＞0）上，得到即c=3d，则A点坐标为（1，3d），根据勾股定理计算出MB=

22+d2

，然后利用AM=BM得到（3d）²=2²+d²，求出d的值，即可确定B点坐标；
（2）由B（3，d）可得到反比例函数的解析式为y=

3d

x

，然后利用待定系数法求出直线AB的解析式为y=-dx+4d，则可设P（t，-dt+4d），则N（t，

3d

t

），表示出PN=-dt+4d-

3d

t

，NE=

3d

t

，再计算

PN

NE

=

-dt+4d- 3d t

3d t

=-

1

3

t²+

4

3

t-1，配方得-

1

3

（t-2）²+

1

3

，由于

PN

NE

取最大值，所以t=2，此时PN=-dt+4d-

3d

t

=

1

2

，解方程得到d的值，即可确定双曲线的解析式．

解答：解：（1）如图，过B作BN⊥x轴，
∵点A（1，c）和点B（3，d）都在双曲线y=

k2

x

（k₂＞0）上，
∴1×c=3×d，即c=3d，
∴A点坐标为（1，3d），
∴AM=3d，
∵MN=3-1=2，BN=d，
∴MB=

22+d2

，
而AM=BM，
∴（3d）²=2²+d²，
∴d=

2

2

，
∴B点坐标为（3，

2

2

）；

（2）如图，把B（3，d）代入y=

k2

x

得k₂=3d，
∴反比例函数的解析式为y=

3d

x

，
把A（1，3d）、B（3，d）代入y=k₁x+b得，

k1+b=3d 3k1 +b=d

，解得

k1=-d b=4d

，
∴直线AB的解析式为y=-dx+4d，
设P（t，-dt+4d），则N（t，

3d

t

），
∴PN=-dt+4d-

3d

t

，NE=

3d

t

，
∴

PN

NE

=

-dt+4d- 3d t

3d t

=-

1

3

t²+

4

3

t-1=-

1

3

（t-2）²+

1

3

，
当

PN

NE

取最大值时，t=2，
此时PN=-dt+4d-

3d

t

=

1

2

，
∴-2d+4d-

3d

2

=

1

2

，
∴d=1，
∴反比例函数的解析式为y=

3

x

．

点评：本题考查了反比例函数综合题：点在函数图象上，则点的横纵坐标满足其解析式；运用待定系数法求函数的解析式；利用配方法讨论确定最值问题以及勾股定理计算有关线段的长度．