Question

已知抛物线y=ax²+bx+c过点C（0，3），顶点P（2，-1），直线x=m（m＞3）交x轴于点D，抛物线交x轴于A、B两点（如图10）．
（1）①求得抛物线的函数解析式为

y=x²-4x+3

；
②A、B两点的坐标是A（

（1，0）

），B（

（3，0）

）；
③该抛物线关于原点成中心对称的抛物线的函数解析式是

y=-x²-4x-3

；
④将已知抛物线平移，使顶点落在原点，则平移后得到的新抛物线的函数解析式是

y=x²

．
（2）若直线x=m（m＞3）上有一点E（E在第一象限），使得以B、E、D为顶点的三角形和以A、C、O为顶点的三角形相似，求E点的坐标（用m的代数式表示）
（3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得四边形ABEF为平行四边形，若存在，求出m的值及平行四边形ABEF的面积；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）①根据函数过点C（0，3），顶点坐标为（2，-1）可得出a、b、c的值，继而可得出解析式．②根据函数解析式可求出A、B两点的坐标．③设点（x，y）在对称后的函数图象上，则（-x，-y）在原函数图象上，代入可得出对称后的函数关系式．④关于y轴对称的二次函数解析式为y=ax²，结合①可得出答案．
（2）分别讨论，①当△EDB∽△AOC时，②当△EDB∽△COA时，根据相似三角形的对应边成比例得出ED的长，继而可得出点E的坐标．
（3）要使四边形ABEF为平行四边形，则点F横坐标m-2，纵坐标等于点E的纵坐标，将点F的坐标代入可得出m的值，继而也可求出平行四边形的面积．

解答：解：（1）①将点（0，3）代入可得c=3，
又∵顶点P（2，-1），
∴可得出-

b

2a

=2，

4ac-b2

4a

=-1，
解得：a=1，b=-4，
即可得抛物线的函数解析式为y=x²-4x+3；
②由①得：y=x²-4x+3=（x-1）（x+3），
故可得出A（1，0），B（3，0）；
③设点（x，y）在对称后的函数图象上，则（-x，-y）在原函数图象上，
故可得：-y=x²+4x+3，y=-x²-4x-3．
即关于原点成中心对称的抛物线解析式为：y=-x²-4x-3；
④平移后顶点落在原点的抛物线为y=x²．

（2）①当△EDB∽△AOC时，

ED

AO

=

BD

CO

，

ED

1

=

m-3

3

，
则ED=

m-3

3

，得E₁[m，

m-3

3

]；
②当△EDB∽△COA时，

ED

CO

=

BD

AO

，即

ED

3

=

m-3

1

，
则ED=3（m-3），得E₂（m，3m-9）．
因为∠EDB=∠AOC=90°，所以只有这两种情况．

（3）在（2）的条件下，假设抛物线上存在点F，使四边形ABEF为平行四边形，
则EF=AB=2，点F横坐标m-2，纵坐标等于点E的纵坐标，
当点E坐标为：E₁（m，

m-3

3

）时，F₁（m-2，

m-3

3

）在抛物线上，
有

m-3

3

=(m-2)2-4(m-2)+3?3m2-25m+48=0，
∴m=

16

3

或3（舍去），
这时F1（

10

3

，

7

9

），S平行四边形ABEF=2×

7

9

=

14

9

．
②当点E坐标为：E₂（m，3m-9）时，F₂（m-2，3m-9）在抛物线上，
则3m-9=（m-2）²-4（m-2）+3?m²-11m+24=0，
解得：m=8或3（舍去），这时F₂（6，15），S_{平行四边形ABEF}=2×15=30．
综上，存在m₁=

16

3

，S_{平行四边形}=

14

9

；存在m₂=8，S_{平行四边形ABEF}=30．

点评：此题考查了二次函数的综合题，解答本题的关键是掌握待定系数法求二次函数解析式的知识，平行四边形的性质及相似三角形的性质，难度较大，注意细心求解．