题目内容
【题目】如图,以G(0,1)为圆心,半径为2的圆与x轴交于A、B两点,与y轴交于C,D两点,点E为⊙O上一动点,CF⊥AE于F,则弦AB的长度为________;点E在运动过程中,线段FG的长度的最小值为________.
【答案】2 ﹣1
【解析】
连接AC,AG,由OG垂直于AB,利用垂径定理得到O为AB的中点,由G的坐标确定出OG的长,在直角三角形AOG中,由AG与OG的长,利用勾股定理求出AO的长,进而确定出AB的长,由CG+GO求出OC的长,在直角三角形AOC中,利用勾股定理求出AC的长,由CF垂直于AE,得到三角形ACF始终为直角三角形,点F的运动轨迹为以AC为直径的半径,当点三点在同一条直线上时,线段FG的长度有最小值,根据求解即可.
连接AC,AG,
∵GO⊥AB,
∴O为AB的中点,即
∵G(0,1),即OG=1,
∴在Rt△AOG中,根据勾股定理得:
∴
又CO=CG+GO=2+1=3,
∴在Rt△AOC中,根据勾股定理得:
∵CF⊥AE,
∴△ACF始终是直角三角形,点F的运动轨迹为以AC为直径的半圆,
AC的中点为
当点三点在同一条直线上时,线段FG的长度有最小值,
故答案为:(1). 2 (2). ﹣1
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