题目内容
【题目】（1）如图1，将矩形ABCD折叠，使BC落在对角线BD上，折痕为BE，点C落在点C'处，若∠ADB=54°，则∠DBE的度数为 °．
（2）小明手中有一张矩形纸片ABCD，AB=4，AD=9．（画一画）如图2，点E在这张矩形纸片的边AD上，将纸片折叠，使AB落在CE所在直线上，折痕设为MN（点M，N分别在边AD，BC上），利用直尺和圆规画出折痕MN（不写作法，保留作图痕迹，并用黑色水笔把线段MN描清楚）；
（3）（算一算）如图3，点F在这张矩形纸片的边BC上，将纸片折叠，使FB落在射线FD上，折痕为GF，点A，B分别落在点A'，B'处，若AG=
，求B'D的长；
（4）（验一验）如图4，点K在这张矩形纸片的边AD上，DK=3，将纸片折叠，使AB落在CK所在直线上，折痕为HI，点A，B分别落在点A'，B'处，小明认为B'I所在直线恰好经过点D，他的判断是否正确，请说明理由．
【答案】（1）27；（2）见解析；（3）3；（4）判断不正确，见解析
【解析】
（1）利用平行线的性质以及翻折不变性即可解决问题；
（2）如图2中，延长BA交CE的延长线由G，作∠BGC的角平分线交AD于M，交BC于N，直线MN即为所求；
（3）首先证明DG＝DF，理由勾股定理求出CF，可得BF，再利用翻折不变性，可知FB′＝FB，由此即可解决问题；
（4）由△CDK∽△IB′C，推出
，即
，设CB′＝3k，IB′＝4k，IC＝5k，由折叠可知，IB＝IB′＝4k，可知BC＝BI＋IC＝4k＋5k＝9，推出k＝1，推出IC＝5，IB′＝4，B′C＝3，在Rt△ICB′中，tan∠B′IC＝
，连接ID，在Rt△ICD中，tan∠DIC＝
，由此即可判断tan∠B′IC≠tan∠DIC，推出B′I所在的直线不经过点D；
解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC＝54°，
由翻折不变性可知，∠DBE＝∠EBC＝
∠DBC＝27°，
故答案为27．
（2）如图2中，折痕MN为所求：
（3）∵AG＝
，AD＝9，
∴GD＝9=
，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DGF＝∠BFG，
由翻折不变性可知，∠BFG＝∠DFG，
∴∠DFG＝∠DGF，
∴DF＝DG＝，
∵CD＝AB＝4，∠C＝90°，
∴在Rt△CDF中，CF＝
，
∴BF＝BCCF＝9-
=
，
由翻折不变性可知，FB＝FB′＝，
∴DB′＝DFFB′＝
．
（4）小明的判断不正确．
理由：如图4中，连接ID，在Rt△CDK中，∵DK＝3，CD＝4，
∴CK＝
，
∵AD∥BC，
∴∠DKC＝∠ICK，
由折叠可知，∠A′B′I＝∠B＝90°，
∴∠IB′C＝90°＝∠D，
∴△CDK∽△IB′C，
∴，即，
设CB′＝3k，IB′＝4k，IC＝5k，
由折叠可知，IB＝IB′＝4k，
∴BC＝BI＋IC＝4k＋5k＝9，
∴k＝1，
∴IC＝5，IB′＝4，B′C＝3，
在Rt△ICB′中，tan∠B′IC＝，
连接ID，在Rt△ICD中，tan∠DIC＝，
∴tan∠B′IC≠tan∠DIC，
∴∠B′IC≠∠DIC，
∴B′I所在的直线不经过点D．
