Question

已知，如图，AB为半圆O的直径，C为OB上一点，OC：CB=1：3，DC⊥AB交半圆O于D，过D作半圆O的切线交AB的延长线于E．
（1）若BE=12，求半圆O的半径长；
（2）在弧BD上任取一点P（不与B、D重合），连接EP并延长交弧AD于F，设PC=x，EF=y，求y关于x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围．

Answer 1

解：（1）连接OD，
设OC=a，则BC=3a，OD=OB=4a；
∵DE是半圆的切线，
∴OD⊥DE；
又∵DC⊥AB，
∴△OCD∽△ODE，
∴OD²=OC×OE，
（4a）²=a×（4a+12），
解得a=0（不合题意，舍去），a=1，
∴OB=4a=4．

（2）连接OF；
∵△DCE∽△ODE，
∴DE：OE=CE：DE，
∴DE²=OE×EC；
由切割线定理可得DE²=PE×EF，
∴OE×EC=PE×EF，
∴PE：CE=OE：FE；
∵∠CEP=∠FEO，
∴△CEP∽△FEO，
∴PC：OF=EC：EF，
x：4=15：y，
∴y=；
当P取B点时，PC最短，此时PC=3；
当P取D点时，PC最长，此时PC=；
∴3＜x＜．
分析：（1）是求线段的长，由于题目中给出了两条线段长度的比，所以可以设未知数，利用图形的几何性质构造方程来求解．
（2）涉及研究线段与线段函数关系的问题，线段作为变量，解题的关键是用几何定理揭示它们之间的等量关系，列出方程后，再化为函数解析式．实质上还是构造方程，利用方程思想解题．
点评：此例是利用相似三角形对应边成比例的性质为等量关系，列出方程后，再化为函数解析式的．特别要注意用图形的几何性质来确定自变量的取值范围．