题目内容
如图，在△ABC中，AC = BC，AB = 8，CD⊥AB，垂足为点D．M为边AB上任意一点，点N在射线CB上（点N与点C不重合），且MC = MN．设AM = x．
（1）如果CD = 3，AM = CM，求AM 的长；
（2）如果CD = 3，点N在边BC上．设CN = y，求y与x的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）如果∠ACB = 90°，NE⊥AB，垂足为点E．当点M在边AB上移动时，试判断线段ME的长是否会改变？说明你的理由．
（1）
（2）
，
（3）线段ME的长不变，理由见解析
【解析】解：（1）∵ AC = BC，∴ ∠A =∠B．
∵ AC = BC，CD⊥AB，∴ 
．……………………（1分）
由勾股定理，得 
．………………（1分）
∵ AM = CM，∴ ∠A =∠ACM．
即得 ∠ACM =∠B．
∴ △ACM∽△ABC．…………………………………………………（1分）
∴ 
．∴ 
．即得 
．………………（1分）
（2）过点M作MF⊥BC，垂足为点F．
由 AM = x，得 BM = 8 –x．
∵ MF⊥BC，CD⊥AB，
∴∠MFB =∠ADC = 90°．
又∵ ∠A =∠B，∴ △MBF∽△ACD．……………………………（2分）
∴ 
．即得 
．
∴ 
．
∴ 
．…………………………（1分）
∵ MC = MN，MF⊥BC，
∴ 
．
即得 ．……………………………………………………（1分）
定义域为 ．………………………………………………（1分）
（3）当点M在边AB上移动时，线段ME的长不变，ME = 4．…………（1分）
由点N在射线CB上，可知点N在边BC上或点N在边CB的延长线上．
（ⅰ）如果点N在边BC上，可知点M在线段AD上．
∵ AC = BC，∠ACB = 90°，∴ ∠A =∠B = 45°．
又∵ AC = BC，CD⊥AB，AB = 8，
∴ CD = BD = 4．
即得 
．
∵ MC = MN，∴ ∠MCN =∠MNC．
∵ ∠MCN =∠MCD +∠BCD，∠MNC =∠B +∠BMN，
∴ ∠MCD =∠NME．
又∵ CD⊥AB，NE⊥AB，∴ ∠CDM =∠MEN = 90°．
∴ △MCD≌△MNE（A．A．S）．
∴ ME = CD = 4．……………………………………………………（2分）
（ⅱ）如果点N在边CB的延长线上，可知点M在线段BD上，且点E在边AB的延长线上．
于是，由 ∠ABC =∠MNC +∠BMN = 45°，
∠BCD =∠MCD +∠MCN = 45°，
∠MCN =∠MNC，
得 ∠MCD =∠BMN．
再由 MC = MN，∠CDM =∠MEN = 90°，
得 △MCD≌△MNE（A．A．S）．
∴ ME = CD = 4．……………………………………………………（2分）
∴ 由（ⅰ）、（ⅱ）可知，当点M在边AB上移动时，线段ME的长不变，ME = 4．
（1）由勾股定理求得AC=5，然后利用相似三角形的相似比求出；
（2）证明△MBF∽△ACD，可得；
（3）注意点N在射线CB上，应该包括两种情况：点N在边BC上或点N在边CB的延长线上．
20、如图，在△ABC中，∠BAC=45°，现将△ABC绕点A逆时针旋转30°至△ADE的位置，使AC⊥DE，则∠B=
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，取斜边的中点，向斜边作垂线，画出一个新的等腰三角形，如此继续下去，直到所画出的直角三角形的斜边与△ABC的BC重叠，这时这个三角形的斜边为
2、如图，在△ABC中，DE∥BC，那么图中与∠1相等的角是（ ）
如图，在△ABC中，AB=AC，且∠A=100°，∠B=