题目内容
【题目】已知矩形ABCD中,AB=2,AD=5,点E是AD边上一动点,连接BE、CE,以BE为直径作⊙O,交BC于点F,过点F作FH⊥CE于H.
(Ⅰ)当直线FH与⊙O相切时,求AE的长;
(Ⅱ)若直线FH交⊙O于点G,
(ⅰ)当FH∥BE时,求的长;
(ⅱ)在点E运动过程中,△OFG能否成为等腰直角三角形?如果能,求出此时AE的长;如果不能,说明理由.
【答案】(Ⅰ)AE =2.5(Ⅱ)(ⅰ)1或4(ⅱ) 或
【解析】
试题分析:(Ⅰ)连接OF,EF, 利用切线的性质、三角形中位线定理证明点F是BC中点,四边形ABFE是矩形, 从而可得BF=AE =2.5;(Ⅱ)(ⅰ)根据FH∥BE得出ΔAEB∽ΔEDC,然后利用相似三角形的对应边成比例可求出AE的长;(ⅱ)分①当G在点F的上方时和当G在点F的下方时两种情况讨论,①当G在点F的上方时,可确定AE=,当G在点F的下方时,可确定.
试题解析:(Ⅰ)连接OF,EF,
∵FH为切线,点F为切点,
∴OFFH
又∵FH⊥CE ∴OF∥CE
∵O为BE中点 ∴点F是BC中点
又AD=BC=5,所以BF=2.5
∵矩形ABCD中,BE为直径 BFE=90
∴A=B=BFE=90
∴ABFE也是矩形, BF=AE =2.5
(Ⅱ)(ⅰ)∵FH∥BE FH⊥CE ∴BEC=90
可证△AEB∽△EDC
设AE=x, 则AE:QB=CD:DE 所以x:2=2:(5-x)
解得x=1或4
(ⅱ)①当G在点F的上方时
连接EF,OG,OF,BG,EF与BG交点为K,作GM⊥EF于M
设AE=x,EF=AB=2,BF=AE=x,∴∠FOG=90 在圆O中∠FBK=∠GEK=45°
可证明BFk和EGK为等腰直角三角形
设FM=BF=x ,则EK=2-x
GM=KM=,
可证:GFM∽EFC
所以, ,
得
∴AE=
②当G在点F的下方时
连BG,EG,EF,OE,OF,作GM⊥BF
同理可证BGK,EFK为等腰直角三角形,
设AE=x,EF=AB=2,BF=AE=x,
∵FOG=90 , KF=EF=2, ,,
∴ ,
可证GFM∽ECF
∴ ,即:
(舍去负值),即
综上: 或