Question

如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O直径，E是CB延长线上一点，且∠BAE=∠C.

（1）求证：直线AE是⊙O的切线；
（2）若EB=AB，，AE=24，求EB的长及⊙O的半径．

Answer 1

（1）见解析（2）15，,

试题分析： （1）证明：连结BD.
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD=90°.
∴∠1+∠D=90°.　
∵∠C=∠D，∠C=∠BAE，
∴∠D=∠BAE.　　
∴∠1+∠BAE=90°.
即∠DAE=90°.
∵AD是⊙O的直径，
∴直线AE是⊙O的切线.　
（2）解: 过点B作BF⊥AE于点F, 则∠BFE=90°.
∵EB="AB,"
∴∠E=∠BAE,
∵∠BFE=90°,
∴
∴AB="15."
由（1）∠D=∠BAE，又∠E=∠BAE,
∴∠D=∠E.
∵∠ABD=90°,
∴
设BD=4k，则AD＝5k.
在Rt △ABD中, 由勾股定理得AB＝="3k=15,"
∴k=5.
∴
∴⊙O的半径为.
点评：此类试题属于难度较大的试题也是圆的基本知识的常考题，考生在解答此类试题时一定要注意分析