Question

如图，以扇形OAB的顶点O为原点，半径OB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，点B的坐标为（2，0），若抛物线y=

1

2

x²+k与扇形OAB的边界总有两个公共点，则实数k的取值范围是______．

Answer 1

由图可知，∠AOB=45°，
∴直线OA的解析式为y=x，
联立

y=x y= 1 2 x2+k

消掉y得，
x²-2x+2k=0，
△=b²-4ac=（-2）²-4×1×2k=0，
即k=

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2

时，抛物线与OA有一个交点，
此交点的横坐标为1，
∵点B的坐标为（2，0），
∴OA=2，
∴点A的坐标为（

2

，

2

），
∴交点在线段AO上；
当抛物线经过点B（2，0）时，

1

2

×4+k=0，
解得k=-2，
∴要使抛物线y=

1

2

x²+k与扇形OAB的边界总有两个公共点，实数k的取值范围是-2＜k＜

1

2

．
故答案为：-2＜k＜

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2

．