题目内容
如图,已知A、B、C分别是⊙O上的点,∠B=60°,P是直径CD的延长线上的一点,且AP=AC.
(1)求证:AP与⊙O相切;
(2)如果AC=3,求PD的长.
(1)证明见解析;(2).
【解析】
试题分析:(1)连接OA,求出∠AOC,求出∠ACP,得出∠P,求出∠AOD,推出∠PAO=90°,根据切线判定推出即可.
(2)根据∠ACD=30°,AC=3求出DC,求出半径,在Rt△PAO中根据勾股定理求出即可.
试题解析:(1)如图,连接OA,
∵∠B=60°,∴∠AOC=2∠B=120°.
∵OA=OC,∴∠ACP=∠CAO=30°.∴∠AOP=60°.
又∵AP=AC,∴∠P=∠ACP=30°.
∴∠OAP=90°,即OA⊥AP.
∵点O在⊙O上,∴AP是⊙O的切线.
(2)如图,连接AD,
∵CD是⊙O的直径,∴∠CAD=90°.
∴AD=AC?tan30°=,CD=2AD=2.
∴DO=AO=CD=.
在Rt△PAO中,由勾股定理得:,
∴.
∵PD的值为正数,
∴PD=.
考点:1.切线的性质和判定;2.圆周角定理;3.等腰三角形的性质和判定.
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