题目内容
【题目】从三角形一个顶点引出一条射线于对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的优美线．
（1）如图，在△ABC中，AD为角平分线，∠B=50°，∠C=30°，求证：AD为△ABC的优美线；
（2）在△ABC中，∠B=46°，AD是△ABC的优美线，且△ABD是以AB为腰的等腰三角形，求∠BAC的度数；
（3）在△ABC中，AB=4，AC=2，AD是△ABC的优美线，且△ABD是等腰三角形，直接写出优美线AD的长．
【答案】(1)见解析；(2) 113°；(3) 
或
【解析】试题分析:(1)根据三角形的优美线的定义,只要证明△ABD是等腰三角形,
△CAD∽△CBA即可解决问题,(2)如图2中,分两种情形讨论求解①若AB=AD,
△CAD∽△CBA,则∠B=∠ADB=∠CAD,则AC∥BC,这与△ABC这个条件矛盾, ②若AB=BD, △CAD∽△CBA, (3)如图3中,分三种情形讨论①若AD=BD, △CAD∽△CBA,则
设BD=AD=x,CD=y,可得
,解方程即可, ②若AB=AD=4,由
,设BD=AD=x,CD=y,可得
,解方程即可, ③若AB=AD,显然不可能.
(1)证明：
∵∠B=50°，∠C=30°，∴∠BAC=100°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAC=50°，
∴∠B=∠BAD=50°，∴DB=DA，
∴△ABD是等腰三角形，
∵∠C=∠C，∠DAC=∠B=50°，
∴△CAD∽△CBA，
∴线段AD是△ABC的优美线．
（2）若AB=AD，舍去，
（理由若△CAD∽△CBA，则∠B=∠ADB=∠CAD，则AC∥BC，）
若AB=BD，∠B=46°，
∴∠BAD=∠BDA=67°，
∵△CAD∽△CBA，
∴∠CAD=∠B=46°，
∴∠BAC=67°+46°=113°．
（3）
或
.
