题目内容

【题目】在四边形ABDC中,AC=AB,DC=DB,∠CAB=60°,∠CDB=120°,E是AC上一点,F是AB延长线上一点,且CE=BF.

(1)试说明:DE=DF;
(2)在图中,若G在AB上且∠EDG=60°,试猜想CE、EG、BG之间的数量关系并证明此结论;
(3)若题中条件“∠CAB=60°,∠CDB=120°”改为∠CAB=α,∠CDB=180°-α,G在AB上,∠EDG满足什么条件时,(2)中结论仍然成立?(只写结果不要证明).

【答案】
(1)

解:∵∠CAB+∠C+∠CDB+∠ABD=360°,∠CAB=60°,∠CDB=120°,

∴∠C+∠ABD=360°﹣60°﹣120°=180°,

又∵∠DBF+∠ABD=180°,

∴∠C=∠DBF,

在△CDE和△BDF中,

∴△CDE≌△BDF(SAS),

∴DE=DF.


(2)

解:如图1,连接AD,猜想CE、EG、BG之间的数量关系为:CE+BG=EG.

证明:在△ABD和△ACD中,

∴△ABD≌△ACD(SSS),

∴∠BDA=∠CDA= ∠CDB= ×120°=60°,

又∵∠EDG=60°,

∴∠CDE=∠ADG,∠ADE=∠BDG,

由(1)可知△CDE≌△BDF,

∴∠CDE=∠BDF,

∴∠BDG+∠BDF=60°,

即∠FDG=60°,

∴∠EDG=∠FDG,

在△DEG和△DFG中,

∴△DEG≌△DFG,

∴EG=FG,

又∵CE=BF,FG=BF+BG,

∴CE+BG=EG


(3)

解:要使CE+BG=EG仍然成立,

则∠EDG=∠BDA=∠CDA= ∠CDB,

即∠EDG= (180°﹣α)=90°﹣ α,

∴当∠EDG=90°﹣ α时, CE+BG=EG仍然成立


【解析】(1)首先判断出∠C=∠DBF,然后根据全等三角形判定的方法,判断出△CDE≌△BDF,根据全等三角形的性质即可判断出DE=DF.
(2)猜想CE、EG、BG之间的数量关系为:CE+BG=EG.首先根据全等三角形判定的方法,判断出△ABD≌△ACD,即可判断出∠BDA=∠CDA=60°;然后根据∠EDG=60°,可得∠CDE=∠ADG,∠ADE=∠BDG,再根据∠CDE=∠BDF,判断出∠EDG=∠FDG,据此推得△DEG≌△DFG,所以EG=FG,最后根据CE=BF,判断出CE+BG=EG即可.
(3)根据(2)的证明过程,要使CE+BG=EG仍然成立,则∠EDG=∠BDA=∠CDA= ∠CDB,即∠EDG= (180°-α)=90°- α,据此解答即可.

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