题目内容

如图，已知A（0，1）、D（4，3），P是以AD为对角线的矩形ABDC内部（不在各边上）的一个动点，点C在y轴上，抛物线y=ax²+bx+1以P为顶点．
（1）能否判断抛物线y=ax²+bx+1的开口方向？请说明理由．
（2）设抛物线y=ax²+bx+1与x轴有交点F、E（F在E的左侧），△EAO与△FAO的面积之差为3，且这条抛物线与线段AD有一个交点的横坐标为 $数学公式$ ，这时能确定a、b的值吗？若能，请求出a、b的值；若不能，请确定a、b的取值范围．（本题的图形仅供分析参考用）

解：（1）能判断抛物线开口向下．
∵y=ax²+bx+1经过点A（0，1），
∴点P的位置高于点A，说明点P不是抛物线的最低点，
∴点P是抛物线的最高点．
∴抛物线y=ax²+bx+1的开口向下．

（2）如图，设抛物线与x轴的交点坐标为F（x₁，0）、E（x₂，0），
则x₁＜0，x₂＞0
S_△AEO= $\text{[math]}$ OE•OA= $\text{[math]}$ x₂；
S_△AFO= $\text{[math]}$ OF•OA= $\text{[math]}$ x₁
∵S_△AEO-S_△AFO=3
∴ $\text{[math]}$ x₂-（ $\text{[math]}$ x₁）=3，即x₁+x₂=6
∵x₁+x₂= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ =6，即b=-6a①
另一方面，设直线AD的解析式为y=kx+m，
并把点A（0，1）、D（4，3）的坐标代入解析式得 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$
由于抛物线与线段AD有一个交点的横坐标为 $\text{[math]}$ ，所以纵坐标= $\text{[math]}$
把点（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）的坐标代入y=ax²+bx+1，
整理得49a+14b=7②
解由①②组成的方程组得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由y=ax²+bx+1可知抛物线过点（0，1），即A点，而顶点P在正方形内部，可判断抛物线开口向下；
（2）已知OA=1，设F（x₁，0）、E（x₂，0），利用△EAO与△FAO的面积之差为3，可求x₁+x₂=6的值，再利用两根关系求a、b的一个关系式，求直线AD的解析式，根据D点横坐标为 $\text{[math]}$ ，求D点纵坐标，代入抛物线解析式，得到a、b的另外一个关系式，解方程组求a、b的值．
点评：本题考查了二次函数的综合运用．关键是根据抛物线的顶点不是最高点，就是最低点，判断开口方向，根据面积关系，及抛物线所经过的点，列方程组求a、b的值．