Question

如图所示,,,,点是以为直径的半圆上一动点,交直线于点,设.
(1)当时,求弧BD的长；
(2)当时,求线段的长；
(3)若要使点在线段的延长线上,则的取值范围是_________.(直接写出答案)

Answer 1

(1) 的长为： π；
（2）BE=；
（3）60°＜α＜90°．

试题分析：（1）首先连接OD，由圆周角定理，可求得∠DOB的度数，又由⊙O的直径为2，即可求得其半径，然后由弧长公式，即可求得答案；
（2）首先证得△ACD∽△BED，然后由相似三角形的对应边成比例，可得，继而求得答案；
（3）首先求得A与E重合时α的度数，则可求得点E在线段BA的延长线上时，α的取值范围．
试题解析：（1）连接OD，

∵α=18°，
∴∠DOB=2α=36°，
∵AB=2，
∴⊙O的半径为：，
∴的长为：=π；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵α=30°，
∴∠B=60°，
∵AC⊥AB，DE⊥CD，
∴∠CAB=∠CDE=90°，
∴∠CAD=90°﹣α=60°，
∴∠CAD=∠B，
∵∠CDA+∠ADE=∠ADE+∠BDE=90°，
∴∠CDA=∠BDE，
∴△ACD∽△BED，
∴，
∵AB=2，α=30°，
∴BD=AB=，
∴AD==3，
∴，
∴BE=；
经检验，BE=是原分式方程的解．
（3）如图，当E与A重合时，

∵AB是直径，AD⊥CD，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴C，D，B共线，
∵AC⊥AB，
∴在Rt△ABC中，AB=2，AC=2，
∴tan∠ABC==，
∴∠ABC=30°，
∴α=∠DAB=90°﹣∠ABC=60°，
当E′在BA的延长线上时，如图，可得∠D′AB＞∠DAB＞60°，
∵0°＜α＜90°，
∴α的取值范围是：60°＜α＜90°．
故答案为：60°＜α＜90°．