Question

已知：半径为1的⊙O₁与x轴交于A、B两点，圆心O₁的坐标为（2，0），二次函数y=-x²+bx+c的图象经过A、B两点，其顶点为F．
（1）求b、c的值及二次函数顶点F的坐标；
（2）写出将二次函数y=-x²+bx+c的图象向下平移1个单位再向左平移2个单位的图象的函数表达式；
（3）经过原点O的直线l与⊙O相切，求直线l的函数表达式．

Answer 1

解：（1）由已知得：A（1，0），B（3，0）
由题意：
解得：
∴y=-x²+4x-3=-（x-2）²+1
∴顶点F（2，1）

（2）y=-x²

（3）设经过原点O的直线l：y=kx（k≠0）与⊙O₁相切于点C
则O₁C⊥OC，OO₁=2，O₁C=1
∴OC=，∠O₁OC=30°
设点C的坐标为（x_c，y_c）
则
∴，得
∴y=x
由圆的对称性，另一条直线l的解析式是y=-x．
分析：（1）根据⊙O₁的半径和圆心的坐标，可求得A、B两点的坐标，然后将它们代入抛物线的解析式中，可求出b、c的值．进而可根据二次函数的解析式求出顶点F的坐标．
（2）将原抛物线的解析式化为顶点式，然后再按题目给出的步骤，一步一步的进行平移．
（3）过原点的直线是正比例函数，只需求得直线与圆的切点的坐标，即可确定直线l的解析式．（根据圆的对称性可知，符合条件的直线l应该有两条）
点评：本题主要考查了函数解析式的确定、切线的性质、二次函数图象的平移等知识．综合性强，难度较大．