Question

如图，已知在半径为2的⊙O中有一点E，过点E的弦AB与CD互相垂直，且OE=1，则AB²+CD²的值等于

 

．

Answer 1

分析：作辅助线“连接AO，DO，作OM⊥CD于点M，作ON⊥AB于点N”构造矩形ENOM，然后利用勾股定理和垂径定理推知，OM²=DO²-DM²=4-(

DC

2

)2、ON²=OA²-AN²=4-(

AB

2

)2，所以OM²+ON²=4-(

AB

2

)2+4-(

DC

2

)2=1，由此解得AB²+CD²=28．

解答：解：连接AO，DO，作OM⊥CD于点M，作ON⊥AB于点N，
∵DC⊥AB，OM⊥DC，ON⊥AB，
∴四边形OMEN为矩形；
∵OM²+ME²=OE²（勾股定理），
又∵ME²=ON²
∴OM²+ON²=OE²；
∵OM²=DO²-DM²=4-(

DC

2

)2；
又∵ON²=OA²-AN²=4-(

AB

2

)2，
∴OM²+ON²=4-(

AB

2

)2+4-(

DC

2

)2=1，
∴AB²+CD²=28；
故答案是：28．

点评：本题主要考查了的是垂径定理和勾股定理．解得该题的关键是通过作辅助线构建矩形OMEN，利用勾股定理、矩形的性质以及垂径定理将 AB²+CD²联系在同一个等式中，然后根据代数知识求解．