题目内容

【题目】操作探究:

数学研究课上,老师带领大家探究《折纸中的数学问题》时,出示如图1所示的长方形纸条ABCD,其中AD=BC=1,AB=CD=5.然后在纸条上任意画一条截线段MN,将纸片沿MN折叠,MB与DN交于点K,得到MNK.如图2所示:

探究:

(1)若1=70°MKN= °

(2)改变折痕MN位置,MNK始终是 三角形,请说明理由;

应用:

(3)爱动脑筋的小明在研究MNK的面积时,发现KN边上的高始终是个不变的值.根据这一发现,他很快研究出KMN的面积最小值为,此时1的大小可以为 °

(4)小明继续动手操作,发现了MNK面积的最大值.请你求出这个最大值.

【答案】(1)、40;(2)、等腰;(3)、45°或135°(4)、最大值为1.3.

【解析】

试题分析:(1)、根据矩形的性质和折叠的性质求出KNM,KMN的度数,根据三角形内角和即可求解;

(2)、利用翻折变换的性质以及两直线平行内错角相等得出KM=KN;(3)、利用当KMN的面积最小值为时,KN=BC=1,故KNBM,得出1=NMB=45°,同理当将纸条向下折叠时,1=NMB=135°;(4)、分情况一:将矩形纸片对折,使点B与D重合,此时点K也与D重合;情况二:将矩形纸片沿对角线AC对折,此时折痕即为AC两种情况讨论求解.

试题解析:(1)、如图1, 四边形ABCD是矩形, AMDN. ∴∠KNM=1. ∵∠1=70°

∴∠KNM=KMN=1=70° ∴∠MKN=40°

(2)、等腰, 理由:ABCD,∴∠1=MND, 将纸片沿MN折叠, BGFYTTTQ ∴∠1=KMN,MND=KMN,

KM=KN;

(3)、如图2,当KMN的面积最小值为时,KN=BC=1,故KNBM, ∵∠NMB=KMN,KMB=90°

∴∠1=NMB=45°,同理当将纸条向下折叠时,1=NMB=135°

(4)、分两种情况:

情况一:如图3,将矩形纸片对折,使点B与D重合,此时点K也与D重合. MK=MB=x,则AM=5x.

由勾股定理得12+(5x)2=x2 解得x=2.6. MD=ND=2.6. SMNK=SMND=×1×2.6=1.3.

情况二:如图4,将矩形纸片沿对角线AC对折,此时折痕即为AC. MK=AK=CK=x,则DK=5x.

同理可得MK=NK=2.6. MD=1, SMNK=×1×2.6=1.3. MNK的面积最大值为1.3.

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