Question

【题目】如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝2∠AOC，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．

（1）将图1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转45°至图2的位置，此时∠MOC＝　 　°；

（2）将图1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图3的位置，使得ON在∠AOC的内部．试探究∠AOM与∠NOC之间满足什么等量关系，并说明理由；

（3）在上述直角三角板从图1逆时针旋转一周的过程中，若三角板绕点O按5°每秒的速度旋转，当直角三角板的直角边ON所在直线恰好平分∠AOC时，求此时三角板绕点O的运动时间t的值．

Answer 1

【答案】（1）75°；（2）∠AOM﹣∠NOC＝30°，理由详见解析；（3）三角板绕点O的运动时间为12秒或48秒．

【解析】

（1）由已知点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝2∠AOC，可求出∠BOC的度数，由旋转的度数可以求出∠MOC的度数；

（2）因为∠MON＝90°，∠AOC＝60°，所以∠AOM＝90°﹣∠AON，∠NOC＝60°﹣∠AON，然后作差即可；

（3）求得∠AOC＝60°，则∠AOD＝30°或∠AON＝30°，即逆时针旋转60°或240°时直线ON平分∠AOC，据此求解．

解：（1）∵∠BOC+∠AOC＝180°，∠BOC＝2∠AOC，

∴∠AOC＝60°，∠BOC＝120°，

由旋转可知∠BOM＝45°，

∴∠MOC＝120°﹣45°＝75°．

故答案为：75．

（2）由（1）得∠AOC＝60°，

∵∠MON＝90°，

∴∠AOM＝90°﹣∠AON，∠NOC＝60°﹣∠AON，

∴∠AOM﹣∠NOC＝（90°﹣∠AON）﹣（60°﹣∠AON）＝30°，

∴∠AOM与∠NOC之间的数量关系为：∠AOM﹣∠NOC＝30°．

（3）由（1）得∠AOC＝60°，

①如下图，

延长NO，

当直线ON恰好平分锐角∠AOC，

∴∠AOD＝∠COD＝30°，

即逆时针旋转60°时NO延长线平分∠AOC，

由题意得，5t＝60，

∴t＝12；

②如下图，

当NO平分∠AOC，

∴∠AON＝30°，

即逆时针旋转240°时NO平分∠AOC，

∴5t＝240，

∴t＝48，

∴三角板绕点O的运动时间为12秒或48秒．