Question

已知：如图，抛物线y=

1

2

x2-3x+c交x轴正半轴于A、B两点，交y轴于C点，过A、B、C三点作⊙D．若⊙D与y轴相切．
（1）求c的值；
（2）连接AC、BC，设∠ACB=α，求tanα；
（3）设抛物线顶点为P，判断直线PA与⊙D的位置关系，并证明．

Answer 1

（1）连接DC，作AB的垂直平分线MN，交AB于E，连接DA．
∵⊙D经过点C且与y轴相切
∴⊙D与y轴相切于点C
∴DC⊥y轴
∵⊙D和抛物线都经过点A、B
∴MN经过点D、P
∴MN是抛物线的对称轴
由y=

1

2

x²-3x+c知：
对称轴是x=3；令x=0得y=c．
∴点C坐标为（0，c），点D坐标为（3，c），
⊙D的半径为3
由y=

1

2

x²-3x+c知，
令y=0得

1

2

x²-3x+c=0
解得：x₁=3+

9-2c

，x₂=3-

9-2c

∴点A坐标为（3-

9-2c

，0），
点B坐标为（3+

9-2c

，0）
∴AE=

1

2

（OB-OA）=

1

2

[（3+

9-2c

）-（3-

9-2c

）]=

9-2c

在Rt△ADE中，AE²+DE²=DA²，即：（

9-2c

）²+c²=9
∴c²-2c=0解得：c=0（不符题意舍）或c=2．
∴c=2．

（2）延长AD交圆于点F，连接BF．
∵AF是⊙D的直径
∴∠ABF=90°
∵在Rt△ABF中，AB=2AE=2

5

，AF=6，
∴BF=

AF2-AB2

=

36-20

=4．
∴tan∠F=

AB

BF

=

2 5

4

=

5

2

．
∵∠ACB与∠F都是弧AB所对的圆周角，
∴∠ACB=∠F．
∴tan∠ACB=tan∠F=tanα=

5

2

．

（3）判断：直线PA与⊙D相切．
连接PA．
由（1）知c=2，于是D（3，2），AE=

9-2c

=

5

易知：顶点P坐标为（3，-

5

2

）
在Rt△ADE中，PA²=AE²+PE²=5+

25

4

=

45

4

又：PD²=（DE+EP）²=（2+

5

2

）²=

81

4

；DA²=3²=9
因为9+

45

4

=

81

4

所以，在△DAP中，DA²+PA²=PD²
所以，△DAP为直角三角形，∠DAP=90°，点A在圆上
所以，PA与⊙D相切．