题目内容

在平面直角坐标系xOy中:已知抛物线y=-
1
2
x2+(m2-m-
5
2
)x+
1
3
(5m+8)
的对称轴为x=-
1
2
,设抛物线与y轴交于A点,与x轴交于B、C两点(B点在C点的左边),锐角△ABC的高BE交AO于点H.
(1)求抛物线的解析式;
(2)在(1)中的抛物线上是否存在点P,使BP将△ABH的面积分成1:3两部分?如果存在,求出P点的坐标;如果不存在,请说明理由.
(1)由题意:x=-
m2-m-
5
2
-
1
2
×2
=-
1
2

化简,得:m2-m-2=0
解得:m1=-1,m2=2;
当m=-1时,函数解析式为:y=-
1
2
x2-
1
2
x+1(如右图),其中△ABC不符合锐角三角形的特点,故m=-1舍去;
当m=2时,函数解析式为:y=-
1
2
x2-
1
2
x+6;
综上,抛物线的解析式为:y=-
1
2
x2-
1
2
x+6.

(2)由(1)知:抛物线的解析式为:y=-
1
2
x2-
1
2
x+6(如右图);
令x=0,则y=6,即 A(0,6);
令y=0,-
1
2
x2-
1
2
x+6=0,解得:x1=3,x2=-4;即 B(-4,0)、C(3,0);
∠OAC=∠HBO=90°-∠ACO,又∠AEH=∠BOH=90°,
∴Rt△BOHRt△AOC,
BO
AO
=
OH
OC
,即
4
6
=
OH
3
,OH=2,AH=4;
在线段AH上取AM=HN=
1
4
AH=1,则 M(0,5)、N(0,3);
设直线BM的解析式为:y=kx+5,则有:-4k+5=0,k=
5
4

∴直线BM:y=
5
4
x+5.
同理,直线BN:y=
3
4
x+3.
联立直线BM和抛物线y=-
1
2
x2-
1
2
x+6,有:
y=
5
4
x+5
y=-
1
2
x2-
1
2
x+6

解得:
x1=-4
y1=0
x2=
1
2
y2=
45
8

∴P1
1
2
45
8
);
同理,求直线BN与抛物线的交点P2
3
2
33
8
);
综上,存在符合条件的P点,且坐标为:P1
1
2
45
8
)、P2
3
2
33
8
).
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