Question

如图所示．P是⊙O外一点．PA是⊙O的切线．A是切点．B是⊙O上一点．且PA=PB，连接AO、BO、AB，并延长BO与切线PA相交于点Q．

（1）求证：PB是⊙O的切线；

（2）求证： AQ·PQ= OQ·BQ； 

（3）设∠AOQ=．若cos=．OQ= 15．求AB的长

【解析】此题考核圆的切线，相似三角形的判定和性质

 

Answer 1

【答案】

（1）证明：连接OP，与AB交与点C．∵PA=PB，OA=OB，OP=OP，

∴△OAP≌△OBP（SSS），∴∠OBP=∠OAP，

∵PA是⊙O的切线，A是切点，∴∠OAP=90°，∴∠OBP=90°，即PB是⊙O的切线；

 

（2）∵∠Q=∠Q，∠OAQ=∠QBP=90°，∴△QAO∽△QBP，

∴ ，即AQ•PQ=OQ•BQ；

（3）在Rt△OAQ中，∵OQ=15，cosα=，∴OA=12，AQ=9，∴QB=27；∵，

∴PQ=45，即PA=36，∴OP=；∵PA、PB是⊙O的切线，∴OP⊥AB，AC=BC，

∴PA•OA=OP•AC，即36×12=•AC，∴AC=，故AB=