Question

如图所示，P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，A是切点，B是⊙O 上一点，且PA=PB，连接AO、BO、AB，并延长BO与切线PA相交于点Q．

（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）求证：AQ•PQ=OQ•BQ；
（3）设∠AOQ=α，若cosα= ，OQ=15，求AB的长．
[来源:学科网ZXXK]

Answer 1

解：（1）证明：连接OP，与AB交与点C．

∵PA=PB，OA=OB，OP=OP，
∴△OAP≌△OBP（SSS），
∴∠OBP=∠OAP，
∵PA是⊙O的切线，A是切点，
∴∠OAP=90°，
∴∠OBP=90°，即PB是⊙O的切线；
（2）∵∠Q=∠Q，∠OAQ=∠QBP=90°，
∴△QAO∽△QBP，[来源:学+科+网Z+X+X+K]
∴，即AQ•PQ=OQ•BQ；
（3）在Rt△OAQ中，∵OQ=15，cosα=，
∴OA=12，AQ=9，
∴QB=27；
∵= ，
∴PQ=45，即PA=36，
∴OP=；
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴OP⊥AB，AC=BC，
∴PA•OA=OP•AC，即36×12=•AC，
∴AC=，故AB=．

解析